Matematyka.pl

Dzień dobry, bądź dobry wieczór. Mam przedstawić w postaci iloczynów cykli rozłącznych, f do potęgi 84 a g do 26.
\(\displaystyle{ f= \begin{array}{ccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&9&4&5&6&8&3&10&7&2\end{array}}\)

\(\displaystyle{ g=\begin{array}{ccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\4&10&8&5&7&9&1&6&2&3\end{array}}\)

Zatem obliczyłem cykl rozłączny f: \(\displaystyle{ (1)^0}\)\(\displaystyle{ (2,9,7,3,4,5,6,8,10)^3}\)
g: \(\displaystyle{ (1,4,5,7)^2}\)\(\displaystyle{ (2,10,3,8,6,9)^2}\)

I dalej nie wiem co zrobić. Proszę o przede wszystkim o wytłumaczenie.

Cykl \(\displaystyle{ (2,9,7,3,4,5,6,8,10)}\) przeprowadza \(2\) na \(9\), \(9\) na \(7\) i \(7\) na \(3\). Jeśli podnosisz ten cykl do trzeciej potęgi, to wykonujesz przekształcenie trzy razy, czyli \(2\) przechodzi od razu na \(3\). Dalej, na co przejdzie trójka, itd.?

czyli f to (1)(3,4,5,6,8,10,2,9,7) a g (5,7,1,4)(3,8,6,9,2,10), zgadza się?

Nie. Przecież dwójka miała przechodzić na trójkę, a nie na dziewiątkę.

no przecież przeszła 2 -> 9 -> 7 -> 3, 9 -> 7 -> 3 -> 4 itd

Dodano po 29 minutach 21 sekundach:
czekaj chyba zrozumiałem to będzie f (1)(2,3,6,9,5,7,10,8,4)

Już początek dobrze, tzn. \(2\mapsto3\mapsto6\). A na co przechodzi \(6\)?

przesuwam o 3 czyli pomijam 8,10 dwa już użyłem czyli 9

Nieważne, że 2 już jest użyte, to nie tak działa, robimy tyle kroków ile powiedziano po prostu 6 przechodzi na 2. To jeszcze się trzeba dowiedzieć na co przechodzą 4, 5, 7, 8, 9 i 10

czyli \(\displaystyle{ \displaystyle{ (2,9,7,3,4,5,6,8,10)^3}}\) to by było \(\displaystyle{ \displaystyle{ (2,3,6,9,4,8,7,5,10)}}\)

Jeśli \(\sigma=(2,9,7,3,4,5,6,8,10)\), to \(\sigma^3(6)=\sigma(\sigma(\sigma(6)))=\sigma(\sigma(8))=\sigma(10)=2\). Nie widzę żadnego powodu, żeby pomijać dwójkę. Przecież wynik tego działania nie może zależeć od tego, czy wcześniej oglądałeś element \(2\), czy w ogóle zacząłeś od \(6\), ani od tego czy wczoraj padał deszcz czy nie.

Możesz sobie najpierw spokojnie rozpisać co na co przechodzi i potem rozbić na cykle rozłączne:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 6 8 10 2 5 9 4 7

Zobacz że przeskakując sobie o trzy wracamy w to samo miejsce. I mamy takie 3 cykle rozłączne.

$$(2,9,7,3,4,5,6, 8, 10)^3 = (2, 3, 6)(9, 4, 8)(7, 5, 10)$$

Mam nadzieję, że już jaśniej widać co z czego daj znać czy już wiesz, jak zrobić drugi podpunkt

Czyli tak?
\(\displaystyle{ (1457)^2=(1,5)(4,7)}\)
\(\displaystyle{ (2103869)^2=(2,3,6)(10,8,9)}\)

Tak, super

To dziękuje ślicznie!! Bez Państwa pomocy bym sobie nie poradził. Miłego i Pozdrawiam serdecznie!