Matematyka.pl

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) niech \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) będą przecięciami dwusiecznych kątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ACB}\) z bokami odpowiednio \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AB}\). Wiedząc, że miary w stopniach kątów \(\displaystyle{ BDE}\) i \(\displaystyle{ CED}\) są równe odpowiednio \(\displaystyle{ 24}\) i \(\displaystyle{ 18}\), oblicz różnice w stopniach między miarami dwóch najmniejszych kątów tego trójkąta. Kąt \(\displaystyle{ CAB=96^\circ.}\)

Punkty \(D\) i \(E\) odbijmy symetrycznie względem dwusiecznych. Co wiadomo na temat trójkąta \(SD'E'\)? Jaki jest stosunek boków \(\frac{SD'}{SE'}\)? Co można powiedzieć o kątach pomiędzy wysokością opuszczoną z \(S\) a bokami \(SD'\), \(SE'\)? Nie widzę tu sposobu, żeby obejść się bez trygonometrii.

Trygonometria też może być.

Ja akurat nie jestem biegły w trygonometrii. Gdyby się udało wykazać, że
\(\sin\frac{4\pi}{30}\;\sin\frac{8\pi}{30}=\sin\frac{3\pi}{30}\;\sin\frac{13\pi}{30}\),
tobyśmy znali wszystkie kąty w trójkącie \(SD'E'\), a w konsekwencji także kąty w trójkącie \(ABC\). Póki co nie mam dowodu tej tożsamości, a inne próby rozwiązania tego zadania też na razie nie przyniosły skutku.

Czy możesz objaśnić skąd ta równość z sinusami?

Oczywiście. Do niczego wielkiego póki co nie doszedłem, ale mogę wyjaśnić, jak udowodnienie równości z sinusami rozwiązałoby zadanie.

Na rysunku (we wcześniejszym wpisie) widzimy kąty o miarach \(18^\circ\) i \(24^\circ\), więc wygodnie będzie te kąty wyrażać jako wielokrotności kąta \(\gamma=6^\circ\), czyli \(\frac{\pi}{30}\) w mierze łukowej.

Kąt zewnętrzny w trójkącie jest sumą dwóch kątów wewnętrznych, więc \(\sphericalangle BSE = \sphericalangle CSD = 3\gamma +4\gamma=7\gamma\). Ten sam kąt mamy w drugich połówkach deltoidów, czyli \(\sphericalangle BSE' = \sphericalangle CSD' =7\gamma\). Trzy takie kąty oraz kąt w trójkącie \(E'SD'\) tworzą razem kąt półpełny, więc \(\sphericalangle E'SD'=(30-3\cdot7)\gamma=9\gamma\).

Zatem znamy jeden kąt w trójkącie \(E'SD'\). Teraz jeszcze znajdźmy proporcję boków przyległych do tego kąta. Niech \(h\) oznacza wysokość trójkąta \(ESD\) opuszczoną z \(S\). Wtedy \(E'S=ES=\frac{h}{\sin(3\gamma)}\) oraz \(D'S=DS=\frac{h}{\sin(4\gamma)}\).

Widzimy więc trójkąt o kącie \(9\gamma = \frac{9\pi}{30}\) i stosunku boków przy tym kącie \(\frac{\sin(4\gamma)}{\sin(3\gamma)}\). Taki trójkąt jest tylko jeden z dokładnością do podobieństwa. Konstrukcyjnie moglibyśmy łatwo wyznaczyć pozostałe dwa kąty. Zabawa w Geogebrze przekonuje mnie, że są one równe \(8\gamma\) i \(13\gamma\). Jeśli tak rzeczywiście jest, to z twierdzenia sinusów można dostać równość, którą wcześniej napisałem. I na odwrót, jeśli tamta równość jest prawdziwa, to kąty w trójkącie \(E'SD'\) będą równe \(8\gamma\) i \(13\gamma\).

Można też próbować bardziej geometrycznych rozwiązań, tzn. bez trygonometrii. Na rysunku wygląda na to, że punkty \(E'\) i \(A\) są symetryczne względem prostej \(CE\). Równoważnie, punkt \(E\) obrócony o kąt \(14\gamma\) wokół \(S\) daje \(A\). Dodając do tego dość oczywistą równość \(\sphericalangle EAS=8\gamma\) (bo \(AS\) jest dwusieczną trójkąta \(ABC\)) otrzymalibyśmy wszystkie kąty. No, ale tej symetrii na razie też nie mam udowodnionej. Wiadomo, że \(E'\) odbity symetrycznie względem prostej \(CE\) ląduje gdzieś na prostej \(CA\). Ale dlaczego akurat przy zadanych kątach ląduje dokładnie w \(A\), tego na razie nie wiem.

3a174ad9764fefcb pisze: ↑10 sie 2022, o 16:53 Ja akurat nie jestem biegły w trygonometrii. Gdyby się udało wykazać, że
\(\sin\frac{4\pi}{30}\;\sin\frac{8\pi}{30}=\sin\frac{3\pi}{30}\;\sin\frac{13\pi}{30}\),
tobyśmy znali wszystkie kąty w trójkącie \(SD'E'\), a w konsekwencji także kąty w trójkącie \(ABC\). Póki co nie mam dowodu tej tożsamości, a inne próby rozwiązania tego zadania też na razie nie przyniosły skutku.

Ta równość jest prawdziwa, da ją się udowodnić.

To świetnie. Czy w takim razie ze szczegółami rozwiązania już sobie dasz radę na podstawie tego co napisałem?

Dodano po 1 dniu 3 godzinach 48 minutach 11 sekundach:
W międzyczasie też już sobie poradziłem z tą równością:
\(\sin\frac{4\pi}{30}\;\sin\frac{8\pi}{30}=\sin\frac{3\pi}{30}\;\sin\frac{13\pi}{30}\).
Podaję główne kroki, gdyby ktoś chciał to prześledzić. Iloczyn sinusów zamieniamy na różnicę kosinusów, równanie mnożymy przez \(2\). Argumenty zapisujemy używając ułamków \(\frac{\pi}{5}\) i \(\frac{\pi}3\).
\(\cos\left(\frac{\pi}5-\frac{\pi}3\right) - \cos\frac{2\pi}5= \cos\frac{\pi}3 - \cos\left(\frac{\pi}5+\frac{\pi}3\right)\)
Po skorzystaniu ze wzoru na kosinus różnicy/sumy i uproszczeniach mamy:
\(2\cos\frac{\pi}5\;\cos\frac{\pi}3 = \cos\frac{2\pi}5 + \cos\frac{\pi}3\).
Dalej wystarczy już tylko podstawić wartości i zobaczyć, że się zgadza:
\(2\cdot\frac{\sqrt5+1}4\cdot\frac12=\frac{\sqrt5-1}4+\frac12\).

W tym zadaniu znalazłem ciekawostkę. W programie takim jak Geogebra można zaobserwować, co się stanie gdy zmienimy wartości kątów \(18^{\circ}\) i \(24^{\circ}\) na inne. Chciałem w ten sposób zobaczyć, kiedy punkty \(E'\) i \(A\) leżą symetrycznie względem prostej \(CE\). Na podstawie moich obserwacji wysnułem hipotezę, że istotna tu jest rozwartość kąta równa \(18^{\circ}\). Gdy zmieniałem tylko drugi kąt (\(\sphericalangle BDE\)), punkty \(E'\) i \(A\) zdawały się leżeć symetrycznie względem dwusiecznej. Zatem, czy zadanie ma również ładny wynik dla kąta \(\sphericalangle CED = 18^{\circ}\) i kąta \(\sphericalangle BDE\) zmieniającego się w pewnym zakresie?

Przy założeniu prawdziwości hipotezy, mielibyśmy trygonometryczną tożsamość ogólniejszą niż poprzednio:
\(\sin x\cdot \sin\left(\frac{2\pi}5-x\right)=\sin\frac{\pi}{10}\cdot \sin\left(4x - \frac{\pi}{10}\right)\),
gdzie \(x\) oznacza miarę kąta \(\sphericalangle BDE\). Równość jest spełniona dla \(x=\frac{2\pi}{15}=24^{\circ}\) (co wykazaliśmy wyżej) i dla \(x=\frac{\pi}{10}=18^{\circ}\) (co odpowiada trójkątowi równoramiennemu), jednak nie jest spełniona dla \(x=0\). Warto spojrzeć na wykresy lewej i prawej strony (na przykład w Wolframie), żeby zobaczyć, o co chodzi.
W przedziale od \(\frac{\pi}{10}\) do \(\frac{2\pi}{15}\) funkcje niewiele się różnią, co jednak nie znaczy że są takie same.

Morał jest taki, że nawet jeśli na rysunku coś widać, to warto to poprzeć dowodem.

Dzień dobry wszystkim

Przepraszam, ale wydaje mi się że to rozwiązanie zostało szalenie skomplikowane na skutek pominięcia ostatniej informacji podanej w temacie:

Kąt \(\displaystyle{ CAB = 96^\circ}\)

Akurat informacja o kącie \(\sphericalangle CAB = 96^{\circ}\) jest redundantna – wynika z pozostałych. Co jest w podanym rozwiązaniu takiego skomplikowanego, co można uprościć po skorzystaniu z informacji o kącie \(\sphericalangle CAB\)?

możemy odwrócić kota ogonem i dowodzić czegoś takiego: dany jest czworokąt \(ADIE\), w którym \(\angle IED = 18^\circ, \angle DEA = 30^\circ, \angle ADE = 54^\circ, \angle EDI = 24^\circ\); wykazać, że \(AI\) jest dwusieczną \(EAD\)

zbudujmy trójkąt równoboczny \(ADF\) (\(F\) leży po tej samej stronie \(AD\) co \(I\)

\(F\) jest środkiem okręgu opisanego na \(ADE\), bo \(DF=FA\) i \(\angle DFA = 60^\circ = 2\angle DEA\), więc \(\angle FED=\angle EDF=6^\circ\)

zbudujmy pięciokąt foremny \(ABCFG\) (punkty \(D, G\) leżą po różnych stronach prostej \(AF\)), wtedy \(E\) leży na \(AG\) bo \(\angle EAD=96^\circ=36^\circ +60^\circ = \angle GAF + \angle FAD = \angle GAD\), a ponadto \(E\) leży na \(FC\), bo \(\angle AFE =2\angle ADE = 108^\circ = 180^\circ - \angle CFA\)

mamy \(AD=AF=AC\), więc \(\angle FDC = \frac 12 \angle FAC = 18^\circ\), czyli \(\angle EDC=6^\circ+18^\circ=24^\circ=\angle EDI\), czyli \(C\) leży na \(DI\)

weźmy teraz \(H\) symetryczny do \(I\) względem \(BE\)

nie chce mi się już dokładnie opisywać, ale wtedy \(\angle IEH=60^\circ\), więc \(EHI\) jest równoboczny, a z tego że \(\angle ECI=30^\circ\) wynika, że \(H\) jest środkiem okręgu opisanego na \(ECI\)

z symetrii względem \(BE\) i tego, że \(H\) jest środkiem okręgu opisanego na \(ECI\) wynika, że \(AI=CH=HI=EI\), a zatem \(AIE\) jest równoramienny i \(\angle EAI =\angle IEA = 48^\circ\)

z drugiej strony łatwo wylicza się, że \(\angle EAD = 96^\circ\), więc \(AI\) jest dwusieczną kąta \(EAD\)