Szacowania z dwójka
: 7 sie 2022, o 23:01
Udowodnić, że jesli \(\displaystyle{ x^4+y^4+z^4+xyz=4 }\), to \(\displaystyle{ x \leq 2}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt{2-x} \geq \frac{y+z}{2}. }\)
Mamy \(\displaystyle{ 4=x^4+y^4+z^4+xyz\ge x^4+2y^2z^2+xyz\\=x^4+2\left(yz+\frac 1 4 x\right)^2-\frac {x^2}{8}\ge x^4-\frac{x^2}{8}.}\)
Stąd szacowanie na iksa (i analogicznie, na każdą inną zmienną) daje się poprawić przez \(\displaystyle{ \frac 1 4\sqrt{1+5\sqrt{41}}<2}\)
(nierówność dwukwadratowa to raczej nie jest wielkie wyzwanie).