Matematyka.pl

Nie wiem, czy dobrze rozumiem tą regułę. W książce podkreślono, że można ją stosować, pod warunkiem, że rozpatrywana zmienna nie jest zmienną wolną; no bo jak rozważymy formułę: 1) \(\displaystyle{ x>4}\) ( gdzie zmienne przebiegają zbiór liczb naturalnych ), to z niej wynika formuła: 2)\(\displaystyle{ \ x \ge 4.}\) Zmienna \(\displaystyle{ x}\) jest jednak zmienną wolną w 1) ; a z tego nie wynika, że: \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x} x \ge 4, }\) (bo wartościując zmienną \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ 1,}\) formuła: \(\displaystyle{ x \ge 4,}\) będzie fałszywa).

Mam jednak kłopot z pewnym przeprowadzonym w książce dowodem (a uznałem, że przeczytam dowód, bo to prawo, którego dotyczy ten dowód, też jest dla mnie zastanawiające). Chodzi o prawo:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits _{x}\bigwedge\limits_{y} F\left( x,y\right) \Rightarrow \bigwedge\limits _{y}\bigwedge\limits_{x} F\left( x,y\right) ; }\)

Swoją drogą, chciałbym dokładnie zrozumieć na czym polega różnica pomiędzy poprzednikiem a następnikiem tej implikacji. I nie zadowoli mnie odpowiedź w stylu: "Niczym, bo są równoważne", bo ja chcę zrozumieć sens takiego formalnego rozróżniania, do końca tego nie rozumiem.

Regułę dołączania kwantyfikatora ogólnego oznaczmy jako: \(\displaystyle{ D \bigwedge,}\) a regułę opuszczania tego kwantyfikatora oznaczać będziemy jako: \(\displaystyle{ O\bigwedge;}\) podobnie, dla kwantyfikatora szczegółowego, regułę jego dołączania i opuszczania oznaczymy odpowiednio jako: \(\displaystyle{ D \bigvee }\) oraz \(\displaystyle{ O \bigvee.}\)

Oto dowód naszego faktu (z którym mam pewien) problem.

\(\displaystyle{ 1. \bigwedge\limits _{x}\bigwedge\limits_{y} F\left( x,y\right) }\)- {założenia}.
\(\displaystyle{ 2. \bigwedge\limits_{y} F\left( x,y\right) }\) - \(\displaystyle{ \left\{ O \bigwedge: 1\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 3. F\left( x,y\right) }\) - \(\displaystyle{ \left\{ O\bigwedge: 2 \right\}; }\)
\(\displaystyle{ 4. \bigwedge \limits_ {x} F\left( x,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ D \bigwedge : 3\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 5. \bigwedge\limits _{y}\bigwedge\limits_{x} F\left( x,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ D \bigwedge: 4\right\} . }\)

Problem mam w przejściu z 3 do 4, musimy sprawdzić czy zmienną \(\displaystyle{ x}\) nie jest wolna w 3. Ale 3 to formuła: \(\displaystyle{ F\left( x,y\right), }\) więc chyba jest wolna, np. dla formuły: \(\displaystyle{ x+1=y}\), to zmienna \(\displaystyle{ x}\) jest wolna, a nie powinna być wolna, jeśli chcemy zastosować tą regułę. Podobny problem pojawia się w ostatnim przejściu.

I jeszcze z jednym dowodem mam problem. Chodzi o dowód prawa:

\(\displaystyle{ \bigvee\limits_ {x} \bigwedge\limits_ {y} F\left( x,y\right) \rightarrow \bigwedge \limits_{y} \bigvee\limits _{x} F\left( x,y\right). }\)

Dowód:

\(\displaystyle{ 1. \bigvee\limits_ {x} \bigwedge\limits_ {y} F\left( x,y\right) }\) - {założenia }.
\(\displaystyle{ 2. \bigwedge\limits_ {y} F\left( a,y\right) }\) - \(\displaystyle{ \left\{ O\bigvee: 1\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 3. \ F\left( a,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ O \bigwedge: 2\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 4. \bigvee\limits_ {x} F\left( x,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ D\bigvee: 3\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 5. \bigwedge \limits_{y} \bigvee\limits _{x} F\left( x,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ D \bigwedge: 4\right\}. }\)

I z tym ostatnim przejściem mam problem- musimy sprawdzić czy zmienną \(\displaystyle{ y}\) nie jest wolna w 4, a niestety chyba jest wolna.

Czy może, te zmienne, mają nie być wolne w formulę z naszego założenia (wtedy nie było by problemu ), ale ja nie wiem, ten przykład z książki co innego sugeruje. Wie ktoś może

Myślę że nie muszą być wolne. Jeśli formuła jest twierdzeniem (czyli jest zawsze prawdziwa), to czemu nie miałaby być prawdziwa po dopisaniu kwantyfikatora ogólnego?

Popatrz na moje przykłady, formuła \(\displaystyle{ F(x,y)}\) nie musi być twierdzeniem, jest tylko schematem.

3a174ad9764fefcb pisze: ↑2 sie 2022, o 19:42 Myślę że nie muszą być wolne.

Jakub Gurak pisze: ↑2 sie 2022, o 17:16 W książce podkreślono, że można ją stosować, pod warunkiem, że rozpatrywana zmienna nie jest zmienną wolną; no bo jak rozważymy formułę: 1) \(\displaystyle{ x>4}\) ( gdzie zmienne przebiegają zbiór liczb naturalnych ), to z niej wynika formuła: 2)\(\displaystyle{ \ x \ge 4.}\) Zmienna \(\displaystyle{ x}\) jest jednak zmienną wolną w 1) ; a z tego nie wynika, że: \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x} x \ge 4,... }\)

Tylko pytanie, czy to zastrzeżenie odnosi się do naszych podstawowych założeń, czy do ostatniej rozpatrywanej formuły

Spójrz

Kod: Zaznacz cały

ii.uni.wroc.pl/~kosciels/pi/L1.pdf

na punkt 2.1.

każda z formuł jest albo aksjomatem, albo wnioskiem otrzymanym z formuł wcześniejszych za pomocą jednej z reguł dowodzenia

Formuła \(x>4\) nie pojawi się w Twoim dowodzie, bo nie jest ani aksjomatem, ani z aksjomatów nie wynika.

Jakub Gurak pisze: ↑2 sie 2022, o 17:16bo ja chcę zrozumieć sens takiego formalnego rozróżniania, do końca tego nie rozumiem.

Syntaktycznie formuły \(\displaystyle{ \forall x\forall y\, F(x,y)}\) i \(\displaystyle{ \forall y\forall x\, F(x,y)}\) są różne, bo to różne ciągi symboli. Powinieneś wiedzieć, czym są formuły w języku pierwszego rzędu.

JK

@Jakub Gurak: Widzę, że zaczerpnąłeś chochlą głębiej w kotle wiedzy formalnej i sięgnąłeś logiki formalnej.
1. Piszesz często, że "w książce coś napisano". To jest niejasne, bo jest wiele książek. A nawet jest wiele książek, które na różny sposób określają systemy logiki formalnej. Więc argument tego typu bez podania, o jaką książkę chodzi, jest niepoprawny.
2. Zawyczaj w klasycznym systemie logiki rozróżnia się między implikacją jako formułą tego systemu, a wnioskowaniem w ramach tego systemu. W szczególności w klasycznym rachunku logicznym to, że implikacja \(\displaystyle{ \varphi\rightarrow\psi}\) jest tezą tego rachunku nie jest równoważne temu, że w tym systemie \(\displaystyle{ \psi}\) wynika z \(\displaystyle{ \varphi}\).
Równoważność zachodzi jednak, gdy formuła \(\displaystyle{ \varphi}\) nie ma zmiennych wolnych (to jest treść tzw. twierdzenia o dedukcji).
3. Trzeba jednak podkreślić, że w pewnych nieklasycznych ujęciach rachunku logicznego równoważność ta zachodzi bez tego założenia.
4. Twoje wątpliwości co do stosowania reguły dołączania dużego kwantyfikatora mogą się brać stąd, że porównujesz tu fragmenty różnych książek (z różnymi systemami logiki formalnej).

Właściwie krl już odpowiedział na to pytanie, ale wypowiem się może, jak ja to rozumiem w odniesieniu do systemu formalnego opisanego w książce Elliotta Mendelsona "Introduction to Mathematical Logic".

Jakub Gurak pisze: ↑2 sie 2022, o 17:16 Oto dowód naszego faktu (z którym mam pewien) problem.

\(\displaystyle{ 1. \bigwedge\limits _{x}\bigwedge\limits_{y} F\left( x,y\right) }\)- {założenia}.
\(\displaystyle{ 2. \bigwedge\limits_{y} F\left( x,y\right) }\) - \(\displaystyle{ \left\{ O \bigwedge: 1\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 3. F\left( x,y\right) }\) - \(\displaystyle{ \left\{ O\bigwedge: 2 \right\}; }\)
\(\displaystyle{ 4. \bigwedge \limits_ {x} F\left( x,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ D \bigwedge : 3\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 5. \bigwedge\limits _{y}\bigwedge\limits_{x} F\left( x,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ D \bigwedge: 4\right\} . }\)

Przypomina mi to dowód wnioskowania \(\displaystyle{ \bigwedge\limits _{x}\bigwedge\limits_{y} F\left( x,y\right) \vdash \bigwedge\limits _{y}\bigwedge\limits_{x} F\left( x,y\right)}\) z aksjomatów rachunku predykatów. Żeby teraz wywnioskować stąd nasz fakt, czyli \(\displaystyle{ \vdash \bigwedge\limits _{x}\bigwedge\limits_{y} F\left( x,y\right) \Rightarrow \bigwedge\limits _{y}\bigwedge\limits_{x} F\left( x,y\right) }\) trzeba zastosować twierdzenie o dedukcji. W jego założeniach (w formie nie najbardziej ogólnej) mamy, że formuła będąca założeniem (i poprzednikiem implikacji) nie zawiera zmiennych wolnych - w tym przypadku będzie to formuła \(\displaystyle{ \bigwedge\limits _{x}\bigwedge\limits_{y} F\left( x,y\right)}\) (która istotnie nie zawiera zmiennych wolnych).

Jakub Gurak pisze: ↑2 sie 2022, o 17:16 I jeszcze z jednym dowodem mam problem. Chodzi o dowód prawa:

\(\displaystyle{ \bigvee\limits_ {x} \bigwedge\limits_ {y} F\left( x,y\right) \rightarrow \bigwedge \limits_{y} \bigvee\limits _{x} F\left( x,y\right). }\)

Dowód:

\(\displaystyle{ 1. \bigvee\limits_ {x} \bigwedge\limits_ {y} F\left( x,y\right) }\) - {założenia }.
\(\displaystyle{ 2. \bigwedge\limits_ {y} F\left( a,y\right) }\) - \(\displaystyle{ \left\{ O\bigvee: 1\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 3. \ F\left( a,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ O \bigwedge: 2\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 4. \bigvee\limits_ {x} F\left( x,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ D\bigvee: 3\right\}; }\)
\(\displaystyle{ 5. \bigwedge \limits_{y} \bigvee\limits _{x} F\left( x,y\right) }\)- \(\displaystyle{ \left\{ D \bigwedge: 4\right\}. }\)

I z tym ostatnim przejściem mam problem- musimy sprawdzić czy zmienną \(\displaystyle{ y}\) nie jest wolna w 4, a niestety chyba jest wolna.

Wystarczy sprawdzić, że w formule \(\displaystyle{ \bigvee\limits_ {x} \bigwedge\limits_ {y} F\left( x,y\right)}\) nie ma zmiennych wolnych.

Jakub Gurak pisze: ↑2 sie 2022, o 17:16 Nie wiem, czy dobrze rozumiem tą regułę. W książce podkreślono, że można ją stosować, pod warunkiem, że rozpatrywana zmienna nie jest zmienną wolną; no bo jak rozważymy formułę: 1) \(\displaystyle{ x>4}\) ( gdzie zmienne przebiegają zbiór liczb naturalnych ), to z niej wynika formuła: 2)\(\displaystyle{ \ x \ge 4.}\) Zmienna \(\displaystyle{ x}\) jest jednak zmienną wolną w 1) ; a z tego nie wynika, że: \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x} x \ge 4, }\) (bo wartościując zmienną \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ 1,}\) formuła: \(\displaystyle{ x \ge 4,}\) będzie fałszywa).

Mieszasz tu implikację jako formułę rachunku predykatów z implikacją jako wnioskowaniem.
Implikacja \(\displaystyle{ x\geq 4 \rightarrow (\forall x) x\geq 4}\) nie jest tautologią (oczywiste).
Jednak wnioskowanie: \(\displaystyle{ \frac{x\geq 4}{(\forall x)x\geq 4}}\) jest poprawne (zgodnie z regułą dołączania dużego kwantyfikatora, tzw. regułą generalizacji).
Implikacja \(\displaystyle{ \varphi\rightarrow\forall x\varphi}\) jest tautologią, jeśli zmienna \(\displaystyle{ x}\) nie jest wolna w \(\displaystyle{ \varphi}\).
Wnioskowanie \(\displaystyle{ \frac{\varphi}{\forall x\varphi}}\) jest zawsze poprawne.
Wg np. Mendelsona (polecam).
Zaznaczam jednak, że są podejścia do rachunku predykatów (nieklasyczne), w których w tw. o dedukcji nie trzeba zakładać, że poprzednik implikacji jest zdaniem. Wtedy również nieklasycznie definiuje się tam semantykę rachunku predykatów.

O, chyba znalazłem odpowiedź na swoje pytanie, w książce jest napisane :
"regułę \(\displaystyle{ \mathbb{D} \bigwedge}\) " (czyli regułę dołączania kwantyfikatora ogólnego) "" można więc stosować w dowodach założeniowych, jeśli zmienna wprowadzana za pomocą tej reguły nie jest zmienną wolną w założeniach dowodu. Do twierdzeń (aksjomatów lub twierdzeń udowodnionych ) można zawsze stosować regułę \(\displaystyle{ D\bigwedge}\)". Czyli rozumiem, że w moim pierwszym przykładzie, we formule \(\displaystyle{ \bigwedge \limits_{x} \bigwedge\limits_{y} F(x,y)}\), obydwie zmienne są związane, więc nie ma problemu

Zaznaczę, że ja jedynie przeglądam tą książkę, nie zamierzam wgłębiać się bardzo w logikę formalną, lecz raczej chcę tutaj jedynie poznać reguły dołączania i opuszczania kwantyfikatorów, aby później, robiąc dowody w ogólnej teorii mnogości, poruszać się (nie to żebym miał z tym jakiś specjalny problem , ale czemu się nie udoskonalić ) żeby poruszać się w sposób pewny i poprawny.

Mam takie zadanie( o którym uznałem, że je dokładnie przerobię, gdyż może być mi to przydatne):

Na podstawie definicji kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie i reguł dołącznia i opuszczania kwantyfikatorów zwykłych sformułować reguły dołączania i opuszczania kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie.

Może przypomnę tę reguły, bo widzę, że nie każdy je zna :

Reguła opuszczania kwantyfikatora ogólnego, oznaczana symbolem \(\displaystyle{ \mathbb{O} \bigwedge}\), stwierdza, że z wyrażenia postaci \(\displaystyle{ \bigwedge \limits_{x} F(x)}\) wynikają podstawienie wyrażenia \(\displaystyle{ F(x)}\), a więc stwierdza niezawodność schematów:

\(\displaystyle{ \frac{ \bigwedge \limits_{x} F(x)}{F(x)}}\); \(\displaystyle{ \frac{ \bigwedge \limits_{x} F(x)}{F(y)}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \bigwedge \limits_{x} F(x)}{F(a)}}\),

Tutaj zmienną \(\displaystyle{ x}\) można zastąpić dowolną inną zmienną nazwową), a \(\displaystyle{ a}\) jest pewną stałą.

Reguła dołączania kwantyfikatora szczegółowego, stwierdza, że z podstawień wyrażenia \(\displaystyle{ F(x)}\) wynika wyrażenie \(\displaystyle{ \bigvee \limits_{x} F(x).}\)

Reguła opuszczania kwantyfikatora szczegółowego stwierdza niezawodność schematów:

\(\displaystyle{ \frac{\bigvee F(x)}{ F(a)}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\bigvee \limits_{x} F\left( x, y_1, \ldots, y_n\right) } {F\left( a _{y_1,\ldots, y_n} , y_1,\ldots, y_n \right) } }\).

gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest pewną stałą, która oznacza pewien przedmiot, dla którego prawdziwy jest wniosek pierwszego z tych schematów jeśli prawdziwa jest przesłanka tego schematu. Wyrażenie nazwowe \(\displaystyle{ a _{y_1, \ldots, y_n}}\) oznacza pewien przedmiot, dla którego prawdziwy jest wniosek tego schematu, jeśli prawdziwa jest przesłanka tego schematu. Za każdym razem stosowania tej reguły w tym samym dowodzie wprowadzamy nową stałą dotąd nieużywaną.

Przedstawię teraz rozwiązanie mojego zadania, i prooszę o sprawdzneie. Reguły dołączania kwantyfikatora ogólnego ograniczonego, dla tego przypadku nie zrobiłem tego zadania, zbyt zawiła ta reguła, wybaczcie.

Moje rozwiązanie:

Reguła opuszczania ograniczonego kwantyfikatora ogólnego stwierdza niezawodność schematów:

\(\displaystyle{ \frac{ \bigwedge\limits_{F(x)} G(x) }{ F(x) \rightarrow G(x) } }\) i \(\displaystyle{ \frac{ \bigwedge\limits_{F(x)} G(x) }{ F(y) \rightarrow G(y) } }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \bigwedge\limits_{F(x)} G(x) }{ F(a) \rightarrow G(a) } }\) ;

gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest pewną stałą.

Reguła dołączania ograniczonego kwantygfikatora szczegółowego stwierdza niezawodnośc schematów:

\(\displaystyle{ \frac{ F(x) \wedge G(x)}{ \bigvee \limits_{F(x)} G(x) } }\); i \(\displaystyle{ \frac{ F(y) \wedge G(y)}{ \bigvee \limits_{F(x)} G(x) } }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ F(a) \wedge G(a)}{ \bigvee \limits_{F(x)} G(x) } }\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest pewną stałą.

Reguła opuszczania ograniczonego kwantyfikatora szczegółowego stwierdza niezawodność schematów:

\(\displaystyle{ \frac{ \bigvee \limits_{F(x)} G(x) }{ F(a) \wedge G(a) } ,}\)

jeśli formuła ma co najmniej dwie zmienne wolne, tzn. jest postaci \(\displaystyle{ F\left( x, y_1,\ldots, y_n\right);}\) to się pojawia problem, bo definicję ograniczonego kwantyfikatora szczegółowego mam podaną jedynie w przypadku, gdy formuła ma jedną zmienną wolną (\(\displaystyle{ x}\)), albo, przynajmniej, tak sugeruje zapis, więc proszę o pomoc (bo ja regułę opuszczania kwantyfikata szczegółowego rozumiem, może w ogólności- to trochę ciężko, ale myślę, że przykłady podane w książce w konkretniejszych sytuacjach, myślę, że je dobrze rozumiem ), więc, chcę i tu to zrozumieć, i proszę o pomoc. Proszę też o o odpowiedź, czy pozostałe przypadki zrobiłem dobrzę, gdyż to może być mi przydatne.

Jakub Gurak pisze: ↑8 sie 2022, o 17:53Zaznaczę, że ja jedynie przeglądam tą książkę, nie zamierzam wgłębiać się bardzo w logikę formalną, lecz raczej chcę tutaj jedynie poznać reguły dołączania i opuszczania kwantyfikatorów, aby później, robiąc dowody w ogólnej teorii mnogości, poruszać się (nie to żebym miał z tym jakiś specjalny problem , ale czemu się nie udoskonalić ) żeby poruszać się w sposób pewny i poprawny.

Nie sądzę, byś w dowodach z elementarnej teorii mnogości korzystał z reguł opuszczania i dołączania kwantyfikatorów.

JK

Raczej nie, wyolbrzymiłem sprawę, choć zdarzyło się, że przekształcałem równoważnie wypowiedzi logiczne (typu: zbiór ma element największy względem porządku danego \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) względem porządku doń odwrotnego ten zbiór ma... ). Więc może w takich sytuacjach, to mogłoby mi się przydać, dobra nieważne.

Zastanawia mnie teraz taka rzecz jak równość. To wygląda niewinnie, ja wolę jednak mieć świadomość, czy są stosowne prawa, które to popierają, bo podejrzewam, że może to mieć wszelakie zastosowania, nie tylko polegające na podstawieniu za zmienną tej samej liczby. Do rzeczy: Niedawno na przykład zastosowałem taki chwyt, że jeśli mamy dwa zbiory\(\displaystyle{ X,Y}\), oraz dwie relacje \(\displaystyle{ R,S}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), oraz mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\), (wtedy możemy mówić o obrazie tego zbioru przez relację \(\displaystyle{ R,S}\), obrazy oznaczone kolejno jako \(\displaystyle{ R\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ S \left( A\right) }\)), i użyłem takiego chwytu: wiedząc, że \(\displaystyle{ R=S}\), to niewinnym wydaje się zapisać, że \(\displaystyle{ R\left( A\right)= S\left( A\right). }\) Czy jednak takie wnioskowanie jest formalnie poprawne

Albo prostszy przykład, mamy cztery zbiory \(\displaystyle{ A,B,C,D}\), takie, że \(\displaystyle{ A=C}\) i \(\displaystyle{ B=D,}\) czy poprawnym będzie wnioskowanie, że \(\displaystyle{ A \setminus B=C \setminus D}\)??

Ogólnie, jak mamy \(\displaystyle{ n}\) (skończoną ilość) rodzajów obiektów, tzn. mamy \(\displaystyle{ n}\) klas elementów (określonych rodzajów); i dla dowolnego uporządkowanego układu \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2, \ldots,x_n\right) }\) tych elementów poszczególnych rodzajów mamy dobrze zdefiniowany obiekt \(\displaystyle{ R\left( x_1,x_ 2,\ldots, x_n\right), }\) tzn. dla danego układu istnieje dokładnie jeden taki obiekt \(\displaystyle{ R\left(x_1,x_2,\ldots,x_n \right)}\); i teraz, czy jest prawo mówiące, że jeśli odpowiednie współrzędne dwóch układów są równe, czyli po prostu te dwa układy są równe tzn. \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=\left( y_1,y_2,\ldots, y_n\right) }\), to czy przypisane im obiekty są równe, czyli: \(\displaystyle{ R\left( x_1,x_2,\ldots,x_n \right)=R\left( y_1,y_2,\ldots, y_n\right) }\)

Czy jest na to odpowiednie prawo logiczne??

Wiem, że wygląda to niewinnie, ale podejrzewam, że może to mieć wszechstronne zastosowania(nie tylko arytmetyczne, bo w arytmetyce nikt się nie boi podstawić za zmienną liczbę jej równą), ale to może mieć również inne wszechstronne zastosowania, tylko czy jest to poparte jakimś prawem logicznym

Jakub Gurak pisze: ↑23 sie 2022, o 23:08Niedawno na przykład zastosowałem taki chwyt, że jeśli mamy dwa zbiory\(\displaystyle{ X,Y}\), oraz dwie relacje \(\displaystyle{ R,S}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), oraz mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\), (wtedy możemy mówić o obrazie tego zbioru przez relację \(\displaystyle{ R,S}\), obrazy oznaczone kolejno jako \(\displaystyle{ R\left( A\right) }\) i \(\displaystyle{ S \left( A\right) }\)), i użyłem takiego chwytu: wiedząc, że \(\displaystyle{ R=S}\), to niewinnym wydaje się zapisać, że \(\displaystyle{ R\left( A\right)= S\left( A\right). }\) Czy jednak takie wnioskowanie jest formalnie poprawne Albo prostszy przykład, mamy cztery zbiory \(\displaystyle{ A,B,C,D}\), takie, że \(\displaystyle{ A=C}\) i \(\displaystyle{ B=D,}\) czy poprawnym będzie wnioskowanie, że \(\displaystyle{ A \setminus B=C \setminus D}\)??

Twierdzisz, że zajmujesz się teorią mnogości, a zadajesz takie pytania, jakbyś nie był świadom istnienia Zasady Ekstensjonalności. To trochę tak, jakbyś twierdził, że zajmujesz się kolarstwem, a potem pytał, czy rower to na pewno ma koła...

Jakub Gurak pisze: ↑23 sie 2022, o 23:08Ogólnie, jak mamy \(\displaystyle{ n}\) (skończoną ilość) rodzajów obiektów, tzn. mamy \(\displaystyle{ n}\) klas elementów (określonych rodzajów); i dla dowolnego uporządkowanego układu \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2, \ldots,x_n\right) }\) tych elementów poszczególnych rodzajów mamy dobrze zdefiniowany obiekt \(\displaystyle{ R\left( x_1,x_ 2,\ldots, x_n\right), }\) tzn. dla danego układu istnieje dokładnie jeden taki obiekt \(\displaystyle{ R\left(x_1,x_2,\ldots,x_n \right)}\); i teraz, czy jest prawo mówiące, że jeśli odpowiednie współrzędne dwóch układów są równe, czyli po prostu te dwa układy są równe tzn. \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=\left( y_1,y_2,\ldots, y_n\right) }\), to czy przypisane im obiekty są równe, czyli: \(\displaystyle{ R\left( x_1,x_2,\ldots,x_n \right)=R\left( y_1,y_2,\ldots, y_n\right) }\) Czy jest na to odpowiednie prawo logiczne??

A coś takiego Ci wystarczy?

Kod: Zaznacz cały

en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic#Equality_and_its_axioms

Jakub Gurak pisze: ↑23 sie 2022, o 23:08 ...bo w arytmetyce nikt się nie boi podstawić za zmienną liczbę jej równą

Zmienna liczbowa jako taka nie jest równa żadnej konkretnej liczbie. Możemy ntomiast nadawać zmiennej konkretną wartość liczbową, wtedy nasza zmienna oznacza (w danym kontekście) konretną liczbę. Np:
Niech \(\displaystyle{ x=5}\) (tu nadajemy zmiennej liczbowej \(\displaystyle{ x}\) wartość \(\displaystyle{ 5}\)). Wtedy \(\displaystyle{ x>0}\) (tu zmienna \(\displaystyle{ x}\) oznacza liczbę \(\displaystyle{ 5}\), dzięki nadaniu ttej zmiennej wartości liczbowej w poprzednim zdaniu).

Eh, nie o to mi chodziło, źle się wyraziłem.

Chodziło mi o np. takie identyczności, jak: jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), to \(\displaystyle{ x+ a=y+a}\); jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), to \(\displaystyle{ x-a-1=y-a-1 }\), itd.
Korzysta się z tego nagminnie, więc dobrze by było gdyby to było poprawne formalnie, bardziej mnie jednak interesują zastosowania tego prawa dla obiektów innych niż liczby. Czy takie wnioskowania są poparte odpowiednim prawem logicznym??

Odkryłem przed chwilą, że prawo logiczne:\(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x} \bigwedge\limits_{y} H\left( x,y\right) \Longleftrightarrow \bigwedge\limits_{y} \bigwedge\limits_{x} H\left( x,y\right)\ }\),

można zilustrować.

I w końcu to pojąłem

Dotychczas, to bylo to niby oczywiste, a tak naprawdę nie wiedziałem do końca o co w tym chodzi, a teraz w końcu to pojąłem.

Do rzeczy:

Przyjmijmy w uproszczeniu, że zmienna \(\displaystyle{ x}\) przebiega zbiór \(\displaystyle{ X}\), a zmienna \(\displaystyle{ y}\) przebiega zbiór \(\displaystyle{ Y}\). Niech:

\(\displaystyle{ R= \left\{ \left( x,y\right): \ \ H\left( x,y\right) \right\}.
}\)

Wtedy lewa strona tego prawa oznacza, że w każdym punkcie \(\displaystyle{ x\in X}\) każda prosta pioniowa w punkcie \(\displaystyle{ x}\) zawiera się w \(\displaystyle{ R}\), a więc \(\displaystyle{ R}\) jest całym prostokątem \(\displaystyle{ X \times Y.}\)

Natomiast prawa strona tego prawa oznacza, że w każdym punkcie \(\displaystyle{ y\in Y,}\) każda prosta pozioma w punkcie \(\displaystyle{ y}\) zawiera się w \(\displaystyle{ R}\), a więc znowu ta formuła jest prawdą w całym prostokącie \(\displaystyle{ X \times Y}\), co przedstawia ilustracja:\(\displaystyle{ \\ \\ }\)

I dlatego te formuły są równoważne.

Matematyka.pl

Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego

Re: Reguła dołączania kwantyfikatora ogólnego