żS-4, od: *Kasia, zadanie 3

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-4, od: *Kasia, zadanie 3

Post autor: Liga » 21 paź 2007, o 20:44

*Kasia pisze:Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste równania:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}=x\sqrt[3]{2}}\).

Rozwiązanie:
Podnosząc obie strony równania do potęgi trzeciej, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (x-1)+(x+1)+3\sqrt[3]{(x-1)^2\cdot(x+1}}+3\sqrt[3]{(x-1)\cdot (x+1)^2}=2x^3\\
2x+3\sqrt[3]{(x-1)(x+1)}\cdot(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1})=2x^3}\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}=x\sqrt[3]{2}}\):
\(\displaystyle{ 2x+3\sqrt[2]{x^2-1}\cdot x\sqrt[3]{2}=2x^3\\
x\cdot (2+3\sqrt[3]{2(x^2-1)}-2x^2)=0}\)


1. x=0
Podstawiamy do danego równania i otrzymujemy \(\displaystyle{ L=P}\), zatem \(\displaystyle{ 0}\) należy do zbioru rozwiązań danego równania.

2. \(\displaystyle{ x\neq 0}\), zatem wcześniejsze równania możemy podzielić stronami przez 0:
\(\displaystyle{ x\cdot (2+3\sqrt[3]{2(x^2-1)}-2x^2)=0\\
2+3\sqrt[3]{2(x^2-1)}-2x^2=0\\
3\sqrt[3]{2(x^2-1)}=2x^2-2}\)

Ponownie podnosimy obie strony do trzeciej potęgi i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 27\cdot 2(x^2-1)=8x^6-24x^4+24x^2=8\\
8x^6-24x^4-30x^2+46=0}\)

Przyjmijmy: \(\displaystyle{ y=x^2,\ \ y\geq 0}\) i podzielmy obie strony równania przez 2:
\(\displaystyle{ 4y^3-12y^2-15y+23=0\\
(y-1)(4y^2-8y-23)=0}\)


2.1
\(\displaystyle{ y-1=0\\
y=1\\
x^2=1\\
x=1\ lub\ x=-1}\)

Podstawiając do wyjściowego równania, otrzymujemy \(\displaystyle{ L=P}\), a więc obie liczby spełniają dane równanie.

2.2
\(\displaystyle{ 4y^2=8y-23=0\\
\Delta=64+16\cdot 23=16\cdot 9\cdot 3\\
y_1=\frac{12\sqrt{3}+8}{8}=1,5\sqrt{3}+1\\
y_2=\frac{-12\sqrt{3}+8}{8}=-1,5\sqrt{3}+1\\
y_2}\)
Ostatnio zmieniony 23 paź 2007, o 17:25 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-4, od: *Kasia, zadanie 3

Post autor: scyth » 21 paź 2007, o 23:10

bardzo ładne rozwiązanie, 5/5

ODPOWIEDZ