Matematyka.pl

Mając zdefiniowaną kratę jako \(\displaystyle{ \langle L,\vee,\wedge\rangle}\), gdzie \(\displaystyle{ \sup\{a,b\}=a\vee b}\) oraz \(\displaystyle{ \inf\{a,b\}=a\wedge b}\). Chcę sprawdzić czy \(\displaystyle{ a+(b\vee c) = (a+b) \vee (a+c)}\), czyli czy działanie dodawania jest rozdzielne względem \(\displaystyle{ \vee.}\)

Czy ktoś jest mi wstanie wyjaśnić krok po kroku dlaczego jest to prawda?

Z góry dziękuję.

A co to jest `+`?

A jeszcze wcześniej, co to jest \(L\), \(\vee\) i \(\wedge\)? Póki co, nie widzę tu zdefiniowanej kraty.

a4karo pisze: 26 lip 2022, o 11:34 A co to jest `+`?

Chodzi o zwykle działanie dodawania

Dodano po 4 minutach 51 sekundach:

3a174ad9764fefcb pisze: 26 lip 2022, o 12:08 A jeszcze wcześniej, co to jest \(L\), \(\vee\) i \(\wedge\)? Póki co, nie widzę tu zdefiniowanej kraty.

Tutaj chodzi mi o definicje kraty z prawami przemienności, łączności etc. w których mamy \(\displaystyle{ \vee,\wedge}\). Jednak nie o sposób definiowania kraty mi chodzi lecz o to czy w kracie zachodzi rozdzielność dodawania względem \(\displaystyle{ \vee}\), mam problem z rozpisaniem tego w przejrzysty sposób.

Danny03 pisze: 26 lip 2022, o 13:32

a4karo pisze: 26 lip 2022, o 11:34 A co to jest `+`?

Chodzi o zwykle działanie dodawania

W jakim zbiorze?

Danny03 pisze: 26 lip 2022, o 13:32 Jednak nie o sposób definiowania kraty mi chodzi lecz o to czy w kracie zachodzi rozdzielność dodawania względem \(\displaystyle{ \vee}\), mam problem z rozpisaniem tego w przejrzysty sposób.

Tak postawione zagadnienie nie ma sensu, bo jeśli weźmiesz całkiem abstrakcyjną kratę, to nie masz w niej działania dodawania.

Może kompendium Ci w czymś pomoże? Teoria Krat

Jeżeli myślisz o liczbach rzeczywistych, to najprościej tak
`a+(b\vee c)=a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)=(a+ b)\vee(a+c)`

Natomiast jeśli weźmiemy inny typowy przykład kraty, zbiór liczb naturalnych z relacją porządku zadaną przez podzielność, to
\(1+(2 \vee 3) =1 + 6 = 7\)
oraz
\((1 + 2) \vee (1 + 3) = 3 \vee 4 = 12\).
Zatem taka rozdzielność nie zachodzi.