Matematyka.pl

\(\displaystyle{
\int_{1}^{e} \frac{dx}{x(\ln x-1)} = \left| t = \ln x - 1, dt = \frac{1}{x} dx \right|
}\)
\(\displaystyle{
\int_{-1}^{0} \frac{dt}{t} = [\ln t]^{0}_{-1}
}\)
Wychodzi logarytm z liczby ujemnej, co jest raczej źle.

`\int dt/t = \ln |t|+C`

Faktycznie.
A więc wychodzi
\(\displaystyle{
\ln|0|-\ln|1| = [- \infty - 0 ] = - \infty
}\)

Dziwny wynik. Czy on na pewno jest poprawny?

Tak. Funkcja dąży do nieskończoności przy e

Ok, dzięki za pomoc.

essabyczku pisze: 13 lip 2022, o 21:56 Dziwny wynik.

Ale wiesz, że to jest całka niewłaściwa?

JK

Jan Kraszewski pisze: 13 lip 2022, o 22:47

essabyczku pisze: 13 lip 2022, o 21:56 Dziwny wynik.

Ale wiesz, że to jest całka niewłaściwa?

JK

Chyba nie rozumiem.

A wiesz, co to jest całka niewłaściwa?

JK

Hmm. Teraz zauważyłem, że \(\displaystyle{ \ln e = 1}\), ale tak być nie może, ponieważ wtedy mianownik się zeruje. A więc trzeba potraktować to jak całkę niewłaściwą i policzyć
\(\displaystyle{
\int_{1}^{T} \lim_{ T \to e} \frac{dx}{x(\ln x - 1)}
}\)

Co nie zmieni faktu że że całka jest rozbieżna

essabyczku pisze: 14 lip 2022, o 21:24A więc trzeba potraktować to jak całkę niewłaściwą i policzyć
\(\displaystyle{
\int_{1}^{T} \lim_{ T \to e} \frac{dx}{x(\ln x - 1)} }\)

Raczej \(\displaystyle{ \lim_{ T \to e} \int_{1}^{T} \frac{dx}{x(\ln x - 1)}.}\)

a4karo pisze: 14 lip 2022, o 21:27 Co nie zmieni faktu że że całka jest rozbieżna

Oczywiście. Ale być może teraz autor wątku dziwi się nieco mniej.

JK

W takim razie najpierw liczę całkę nieoznaczoną
\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dx}{x(ln |x| - 1)} = \left| t = ln |x| - 1, dt = \frac{1}{x} dx\right| = \int_{}^{} \frac{dt}{t} = ln |t| + C = ln|ln|x|-1| + C
}\)

Następnie granicę
\(\displaystyle{
\lim_{ T \to e} [ln|ln|x|-1|]^T_1 = \lim_{ T \to e} [ln|ln|T|-1| - ln|ln|1|-1|]
}\)

Wiem, że
\(\displaystyle{
ln|ln|1|-1| = ln|0-1| = ln|1| = 0
}\)

Jak natomiast obliczyć \(\displaystyle{ ln|ln|T|-1|}\)?
Jak podstawię e pod T to wychodzi \(\displaystyle{ ln 0}\), co jest niemożliwe.

A jaka jest granica logarytmu w zerze?

\(\displaystyle{ e^{- \infty }=0}\) więc \(\displaystyle{ -\infty}\)?

Tak. Nie prościej popatrzeć na wykres?