Matematyka.pl

Udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x}+ \sqrt{x-4} - \sqrt{x-1} - \sqrt{x-3} }\) jest rosnąca (w \(\displaystyle{ (4, \infty)}\)) i obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty} f(x) }\)

Mamy \(\displaystyle{ f'(x)=\frac 1 2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x-4}}-\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac 1{\sqrt{x-3}}\right)}\).
Ponadto funkcja \(\displaystyle{ g(t)=\frac 1{\sqrt{t}}}\) jest (silnie, wszak jej druga pochodna jest stale dodatnia) wypukła w dodatnich, zatem na mocy nierówności Jensena:
\(\displaystyle{ \frac 3 4g(x)+\frac 1 4g(x-4)> g\left(\frac 3 4x+\frac 1 4(x-4)\right)=g(x-1)\\\frac 1 4 g(x)+\frac 3 4g(x-4)>g\left(\frac 1 4x+\frac 3 4(x-4)\right)=g(x-3)}\)
(równość w nierównościach nie może zajść, gdyż argumenty są różne). To kończy dowód, że \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca we wskazanym przedziale (ma tam bowiem dodatnią pochodną).

Natomiast granicę najłatwiej obliczyć trickiem ze sprzężeniem, tj.
\(\displaystyle{ \sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}}\) i granica ta jest równa zeru.

\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x}+ \sqrt{x-4} - \sqrt{x-1} - \sqrt{x-3} = \frac{ 2\sqrt{x} \sqrt{x-4}-2\sqrt{x-1} \sqrt{x-3} }{(\sqrt{x}+ \sqrt{x-4})+( \sqrt{x-1} + \sqrt{x-3})}=\\=2 \cdot \frac{ -3 }{(\sqrt{x}+ \sqrt{x-4}+ \sqrt{x-1} + \sqrt{x-3})(\sqrt{x} \sqrt{x-4}+\sqrt{x-1} \sqrt{x-3} )}
}\)
Funkcja przyjmuje tylko ujemne wartości. Wraz ze wzrostem argumentu rośnie mianownik, a ujemny ułamek właściwy maleje i stąd monotoniczność funkcji.
\(\displaystyle{
\lim_{ x\to \infty } f(x)= \frac{-6}{ \infty } =0
}\)

Bez rachunków:
Funkcja `g(x)=\sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}` jest wypukła jako odwrotność funkcji wklęsłej.
Zatem funkcja `f(x)=g(x)-g(x-3)` jest rosnąca

a4karo pisze: 11 lip 2022, o 14:11 ... jest wypukła jako odwrotność funkcji wklęsłej ...

na ogół to tak nie jest: funkcja \(x \mapsto -x\) jest wklęsła na \((0,\infty)\), a jej odwrotność nie jest wypukła

Czemu ona jest wklęsła???

timon92 pisze: 3 sty 2023, o 12:05

a4karo pisze: 11 lip 2022, o 14:11 ... jest wypukła jako odwrotność funkcji wklęsłej ...

na ogół to tak nie jest: funkcja \(x \mapsto -x\) jest wklęsła na \((0,\infty)\), a jej odwrotność nie jest wypukła

Kontekst. Ta funkcja jest dodatnia, a odwrotność wklęsłej dodatniej jest wypukła. Ale masz rację że powinienem to dodać