Strona 1 z 1
Losowanie ze zbioru liczb
: 9 lip 2022, o 12:10
autor: retset123
Zadanie:
Ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,…,2n-1,2n\right\} }\) dwukrotnie ze zwracaniem po jednej liczbie. Oblicz Prawdopodobienstwo tego, ze iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez druga jest liczba z przedzialu \(\displaystyle{ (1;2> }\)
Mam problem z obliczenidm zbioru A. Omege latwo obliczyc, rowna sie ona \(\displaystyle{ 4n ^{2} }\).
Jak podejsc do obliczenia A? Widze ze liczba \(\displaystyle{ \frac{l}{m} }\) musi spelniac \(\displaystyle{ m<l \le 2m}\), ale dalej nie wiem. \(\displaystyle{ l}\) to pierwsza liczba, a \(\displaystyle{ m}\) to druga.
Re: Losowanie ze zbioru liczb
: 9 lip 2022, o 12:28
autor: Dasio11
Do obliczenia jest liczba par \(\displaystyle{ (l, m) \in \{ 1, 2, \ldots, 2n \}^2}\) spełniających \(\displaystyle{ m < l \le 2m}\). Zliczymy najpierw, ile jest takich par o ustalonej drugiej współrzędnej. Jeśli \(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) to takich par jest dokładnie \(\displaystyle{ m}\), bo są to pary postaci \(\displaystyle{ (m, l)}\) dla \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\), to takich par jest \(\displaystyle{ 2n-m}\), bo są to pary \(\displaystyle{ (m, l)}\) dla \(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2n}\). Zatem łącznie takich par jest
\(\displaystyle{ |A| = \sum_{m=1}^n m + \sum_{m=n+1}^{2n} (2n-m)}\)
i wystarczy obliczyć te sumy, na przykład korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.
Re: Losowanie ze zbioru liczb
: 9 lip 2022, o 12:31
autor: Papabile
Załóżmy, że w pierwszym losowaniu wylosowaliśmy liczbę \(\displaystyle{ k}\). Teraz pytanie ile jest takich liczb \(\displaystyle{ m}\), dla ustalonego \(\displaystyle{ k}\), spełniających \(\displaystyle{ \frac{k}{m} \in \left[1,2 \right) }\). Jak już na to odpowiemy starczy wysumować po \(\displaystyle{ k}\) przebiegającym od 1 do \(\displaystyle{ 2n}\).
Re: Losowanie ze zbioru liczb
: 9 lip 2022, o 15:34
autor: retset123
Dasio11 pisze: ↑9 lip 2022, o 12:28
Do obliczenia jest liczba par
\(\displaystyle{ (l, m) \in \{ 1, 2, \ldots, 2n \}^2}\) spełniających
\(\displaystyle{ m < l \le 2m}\). Zliczymy najpierw, ile jest takich par o ustalonej drugiej współrzędnej. Jeśli
\(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) to takich par jest dokładnie
\(\displaystyle{ m}\), bo są to pary postaci
\(\displaystyle{ (m, l)}\) dla
\(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\). Jeśli zaś
\(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\), to takich par jest
\(\displaystyle{ 2n-m}\), bo są to pary
\(\displaystyle{ (m, l)}\) dla
\(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2n}\). Zatem łącznie takich par jest
\(\displaystyle{ |A| = \sum_{m=1}^n m + \sum_{m=n+1}^{2n} (2n-m)}\)
i wystarczy obliczyć te sumy, na przykład korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.
Dziekuje za szybka odpowiedz.
Rozumiem ta ostatnia sume. Wychodzi
\(\displaystyle{ n ^{2} }\), lecz nie rozumiem skad sie wzielo to
\(\displaystyle{ 2n-m}\). Dlaczego jest tyle par?
Oraz jesli
\(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) to dlaczego mozemy wybrac dla l
\(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\)? Czasami to prawda bo np.
\(\displaystyle{ \frac{5}{4} }\) i
\(\displaystyle{ \frac{5}{3} }\) mieszcza sie w przedziale, ale
\(\displaystyle{ \frac{5}{2} }\) juz nie. Znaczy nie dla kazdego m
\(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) bedzie mozna wybrac wszystkie l z
\(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\), tylko niektore. Nie moge np dla
\(\displaystyle{ m=1}\) wybrac
\(\displaystyle{ l=m+8}\). Im wieksze m lub l tym wiecej par bedzie. Ale nie zawsze wszystkie z wszystkimi. Dlaczego/jak ta koniecznosc zostaje uwzgledniona tymi wzorami?
Dodano po 1 godzinie 12 minutach 18 sekundach:
Dasio11 pisze: ↑9 lip 2022, o 12:28
Do obliczenia jest liczba par
\(\displaystyle{ (l, m) \in \{ 1, 2, \ldots, 2n \}^2}\) spełniających
\(\displaystyle{ m < l \le 2m}\). Zliczymy najpierw, ile jest takich par o ustalonej drugiej współrzędnej. Jeśli
\(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) to takich par jest dokładnie
\(\displaystyle{ m}\), bo są to pary postaci
\(\displaystyle{ (m, l)}\) dla
\(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2m}\). Jeśli zaś
\(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\), to takich par jest
\(\displaystyle{ 2n-m}\), bo są to pary
\(\displaystyle{ (m, l)}\) dla
\(\displaystyle{ l = m+1, m+2, \ldots, 2n}\). Zatem łącznie takich par jest
\(\displaystyle{ |A| = \sum_{m=1}^n m + \sum_{m=n+1}^{2n} (2n-m)}\)
i wystarczy obliczyć te sumy, na przykład korzystając ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.
Ok czyba zeozumialem, ale czego jeszcze nie rozumiem to czemu rozdzielamy zbior na
\(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) i
\(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\)? Czemu nie liczymy za pierwszym razem od
\(\displaystyle{ 1}\) do
\(\displaystyle{ 2n}\)?
Re: Losowanie ze zbioru liczb
: 9 lip 2022, o 16:01
autor: Dasio11
Ok, spróbuję to napisać inaczej. Jeśli
\(\displaystyle{ a}\) i
\(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi, to do przedziału
\(\displaystyle{ (a, b]}\) należy dokładnie
\(\displaystyle{ b-a}\) liczb całkowitych (mianowicie:
\(\displaystyle{ a+1, a+2, \ldots, b}\)). Weźmy teraz dowolną liczbę
\(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, 2n \}}\). Wtedy para
\(\displaystyle{ (m, l)}\) należy do zbioru
\(\displaystyle{ A}\) dla dokładnie takich
\(\displaystyle{ l \in \NN}\), które spełniają układ nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} m < l \le 2m \\ 1 \le l \le 2n \end{cases}}\)
Jeśli więc
\(\displaystyle{ m \le n}\), to układ sprowadza się do nierówności
\(\displaystyle{ m < l \le 2m}\), czyli spełniają go liczby całkowite
\(\displaystyle{ l \in (m, 2m]}\). Zgodnie z powyższym, takich liczb jest
\(\displaystyle{ 2m-m = m}\).
Jeśli zaś
\(\displaystyle{ m > n}\), to układ jest równoważny
\(\displaystyle{ m < l \le 2n}\), czyli jego rozwiązania to liczby całkowite w przedziale
\(\displaystyle{ (m, 2n]}\) i jest ich
\(\displaystyle{ 2n-m}\).
Mogę jeszcze zasugerować, byś narysował sobie kwadrat
\(\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, 2n \}}\) i zaznaczył w nim proste
\(\displaystyle{ y = x}\) i
\(\displaystyle{ y = 2x}\). Do zbioru
\(\displaystyle{ A}\) należą te punkty kwadratu, które leżą pomiędzy prostymi, może to coś rozjaśni.
Odnośnie dopisku:
retset123 pisze: ↑9 lip 2022, o 15:34czemu rozdzielamy zbior na
\(\displaystyle{ m \in \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) i
\(\displaystyle{ m \in \{ n+1, n+2, \ldots, 2n \}}\)? Czemu nie liczymy za pierwszym razem od
\(\displaystyle{ 1}\) do
\(\displaystyle{ 2n}\)?
Dla
\(\displaystyle{ m \in [1, n]}\) liczba interesujących nas par zadaje się innym wzorem niż dla
\(\displaystyle{ m \in [n+1, 2n]}\), zatem nie ma sensownego sposobu żeby zapisać te liczby pod jedną sumą.
Re: Losowanie ze zbioru liczb
: 9 lip 2022, o 16:44
autor: retset123
Dziekuje za taka dobra i szczegolowa odpowiedz! To bylo jedyne zadanie ktorego nie umialem zrobic ale juz zrozumialem. Nie wiem czemu sie z tym tak trudzilem. Dziekuje:)