Matematyka.pl

Dzień dobry, bardzo proszę o pomoc, nie rozumiem, o co w tym chodzi.

Dla danej formy kwadratowej \(\displaystyle{ q}\) znaleźć bazę, w której macierz \(\displaystyle{ q}\) jest
diagonalna. Wyznaczyć zbiór kierunków głównych formy kwadratowej \(\displaystyle{ q}\).
Mam dużo przykładów, ale dam dwa.

\(\displaystyle{ q:}\) \(\displaystyle{ \RR^{2} \rightarrow \RR^{2}}\), \(\displaystyle{ q([x,y]^{T})=9x^{2}+12xy+4y^{2}}\). Jaką krzywą opisuje równanie: \(\displaystyle{ q([x,y]^{T})=9x^{2}+12xy+4y^{2}=-4}\)?
Chyba żadną krzywą, co nie? Bo jak zrobimy, że jedna zmienna jest parametrem, to mamy deltę ujemną.

\(\displaystyle{ q:}\)\(\displaystyle{ \RR^{3} \rightarrow \RR^{3}}\), \(\displaystyle{ q([x,y,z]^{T})=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4(xy+xz+yz)}\). Jaką powierzchnię opisuje równanie q\(\displaystyle{ ([x,y,z]^{T})=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4(xy+xz+yz)=3}\)?

Znaleźć bazę, w której jest diagonalna czyli co? Mam znaleźć taką macierz \(\displaystyle{ P}\), że \(\displaystyle{ Q=PDP^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest macierzą diagonalną zrobioną z wartości własnych \(\displaystyle{ Q}\)? Zbiór kierunków głównych to zbiór wektorów własnych? A żeby stwierdzić, jaka to krzywa czy powierzchnia, to wystarczy spojrzeć na równanie i przypasować, nie trzeba nic liczyć?

Uniwersalna metoda sprowadzania form kwadratowych do postaci kanonicznej.

1. Zapisujemy formę kwadratową w postaci macierzowej:

2. Znajdujemy wartości własne macierzy formy.

3. Znajdujemy wektory własne odpowiadające jej wartościom własnym.

4. Ustawiamy wektory własne w kolumny macierzy - otrzymując macierz diagonalizującą formy.

5 Doprowadzamy formę do postaci diagonalnej.

kwadryki

Są tak naprawdę dwa zagadnienia
1. Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej. Wersja teoretyczna: niech \(V\) będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem \(K\) charakterystyki różnej od \(2\). Niech \(q : V \to K\) to forma kwadratowa. Wówczas istnieje taka baza \(V\), że macierz \(q\) w tej bazie jest diagonalna. Wersja ze współrzędnymi: niech \(A\) będzie macierzą symetryczną. Wówczas istnieje taka macierz \(P\), że macierz \(D = P^T A P\) jest diagonalna. Uwaga: wyrazy \(D\) nie są wyznaczone jednoznacznie.

Jak w praktyce wyznaczamy macierz \(P\)? Można wypisać formę kwadratową i stosować uzupełnianie do pełnego kwadratu.

2. Sprowadzanie formy kwadratowej do osi (kierunków) głównych. Wersja teoretyczna: niech \(V\) będzie rzeczywistą skończenie wymiarową przestrzenią wektorową z iloczynem skalarnym, a \(q : V \to \mathbb{R}\) formą kwadratową na niej. Wówczas istnieje taka baza ortonormalna przestrzeni \(V\), że macierz \(q\) w tej bazie jest diagonalna. Wersja ze współrzędnymi i standardowym iloczynem skalarnym na \(\mathbb{R}^n\): niech \(A\) będzie macierzą symetryczną. Wówczas istnieje taka macierz ortogonalna \(P\) (czyli spełniająca \(P^{-1} = P^T\)), że macierz \(D = P^T A P\) jest diagonalna.

Jak w praktyce wyznaczamy macierz \(P\)? Znajdujemy wartości własne \(A\), Ta macierz jest symetryczna, więc jest diagonalizowalna. Znajdujemy przestrzenie własne \(A\). Wektory odpowiadające różnych wartościom własnym są prostopadłe, ale trzeba jeszcze znaleźć ortonormalne bazy każdej przestrzeni własnej. Gdy wypiszemy po kolei bazy ortonormalne wszystkich przestrzeni własnych w kolumnach, otrzymamy macierz \(P\). Macierz \(D\) to po prostu macierz diagonalna składająca się z wartości własnych. Ważne, by wypisać je w kolejności takiej, jak odpowiadające im kolumny w \(P\). Wyrazy macierzy \(D\) są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do kolejności.

To powstaje pytanie: po co w ogóle punkt 1, skoro punkt 2 jest mocniejszy (dostajemy tam, że macierz \(P\) jest ortogonalna)? Punkt 1 działa nad dowolnym ciałem charakterystyki różnej od 2. Ponadto wyliczenie pierwiastków wielomianu charakterystycznego w punkcie 2 może być trudne (niemożliwe), a punkt 1 jest zawsze łatwy obliczniowo.

Kiedyś na kolokwium trzeba było zrobić 2, a ja zrobiłem 1, stąd się nauczyłem, jaka jest różnica.

Dodam, że w starszych podręcznikach akademickich z geometrii analitycznej (patrz np. Marceli Stark Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej Wyd.6 PWN Warszawa 1974. Biblioteka Matematyczna Tom.17) w rozdziałach dotyczących metrycznej i afinicznej klasyfikacji kwadryk, nie znajduje się wartości i wektorów własnych macierzy (przestrzeni własnych) lecz bada się znaki niezmienników równań kwadryk -takich jak: rzędy macierzy \(\displaystyle{ A, \breve{A} }\) i znaki wyróżników tych macierzy \(\displaystyle{ \Delta, \breve{\Delta}. }\)