Matematyka.pl

Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej następujący zbiór:
\(\displaystyle{ Z=\left\{ z \in \CC : \frac{|1-i|}{|2+2i|} \le |z+1-3i| \le \Im (2 \sqrt{2} e^{ \frac{i\pi}{4}}) \text{ oraz } Arg(- \sqrt{3}) \le Arg(z) \le Arg(3+i) \right\} }\)

No i dobra tą pierwszą część rozmontowałem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le |z-(-1+3i)| \le 1 }\)
Zgadza się?

Ale tej drugiej to nie wiem jak zrobić. Dostaję coś takiego:
\(\displaystyle{ \pi \le Argz \le \arctg \frac{1}{3} }\)

No i nie wiem jak to narysować, w sensie ten argument, bo \(\displaystyle{ \pi}\) jest większe niż \(\displaystyle{ \arctg \frac{1}{3} }\), więc nie wiem jak to zrobić. Zatem proszę o pomoc z tym argumentem jak to się robi?

Domyślam się, że \(\displaystyle{ Arg}\) oznacza argument główny, tak? Jeśli tak, to zależy co przyjmujesz za argument główny - jeśli \(\displaystyle{ Arg(z) \in [0,2\pi)}\), to oczywiście ta nierówność nigdy nie jest spełniona, z powodu, który napisałeś. Jeśli \(\displaystyle{ Arg(z) \in [-\pi, \pi)}\), to ten warunek ma już więcej sensu.

Btw. w tym pierwszym warunku powinno być \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ 1}\) po prawej stronie.

Wiesz co, nie jestem pewien, ale chyba tak \(\displaystyle{ Arg}\) to argument główny i przyjmijmy tak, żeby to miało sens, czyli tak jak mówisz \(\displaystyle{ Arg(z) \in \left[ -\pi,\pi\right) }\). No ok, to jak to wówczas zrobić?

Ps. Tak racja tam powinno być \(\displaystyle{ 2}\) po prawej stronie.

To wtedy \(\displaystyle{ Arg(-\sqrt{3}) = -\pi}\) oraz \(\displaystyle{ Arg(3+i) = \arctan{1/3}}\) (mniejsza z tym, ile on wynosi, skoro masz narysować, to najlepiej zaznaczyć liczbę \(\displaystyle{ 3+i}\) i poprowadzić półprostą z \(\displaystyle{ 0}\) przechodzącą przez ten punkt).

Czyli drugi warunek to jest cała trzecia i czwarta ćwiartka (bo tam są liczby, które mają argumenty główne w przedziale \(\displaystyle{ [-\pi, 0]}\)) oraz kawałeczek pierwszej.
Pierwszy warunek to wszystkie liczby odległe od \(\displaystyle{ -1+3i}\) o co najmniej \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\), czyli taki pierścień. Pozostaje to narysować i wziąć część wspólną : )

Aha, ok, czyli jak któraś strona tej nierówności zawiera kąt, który nie siedzi w \(\displaystyle{ \left[ -\pi,\pi\right)}\) to dodajemy lub odejmujemy wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi}\), tak żeby już siedział i na końcu patrzymy czy te nierówności są niesprzeczne, tak?

W pewnym sensie tak. Ogólnie tu nie powinno być żadnego domyślania - jeśli masz takie zadanie z jakiejś książki albo wykładu, to tam powinno być jasno zaznaczone, w jakim przedziale siedzi argument główny liczby zespolonej. Wtedy po lewej i prawej stronie nierówności jest tylko jedna "dobra" wartość, bo oczywiście argumentem \(\displaystyle{ -\sqrt{3}}\) jest też \(\displaystyle{ -31\pi}\), ale to nie jest argument główny.

Ok dzięki. Tutaj na wikipedii widzę, że przez \(\displaystyle{ Arg}\) oznaczają argument liczby zespolonej, a przez \(\displaystyle{ arg}\) argument główny, ale w tym zadaniu jeśliby była mowa o argumencie (niegłównym) liczby zespolonej to to zadanie chyba nie miałoby sensu, zgadza się?

A jeszcze taka inna rzecz. Jeśli \(\displaystyle{ Arg}\) to argument główny, a \(\displaystyle{ arg}\) to niegłówny to piszemy na przykład tak: \(\displaystyle{ Arg(- \sqrt{3})=-\pi }\) natomiast \(\displaystyle{ arg(- \sqrt{3})=-\pi+2k\pi, k \in \ZZ }\), zgadza się?

No tak, jeśli to jest "jakiś" argument, to można wtedy sobie interpretować tę nierówność w drugim warunku na wiele sposobów.

Ok, a jeśli \(\displaystyle{ Arg}\) to argument główny, a \(\displaystyle{ arg}\) to niegłówny to piszemy na przykład tak: \(\displaystyle{ Arg(- \sqrt{3})=-\pi }\) natomiast \(\displaystyle{ arg(- \sqrt{3})=-\pi+2k\pi, k \in \ZZ }\), zgadza się?

Dokładnie tak (zakładając, że przyjmujemy, że argument główny siedzi w \(\displaystyle{ [-\pi, \pi)}\)).

Swoją drogą śmiesznie, bo polska wikipedia rzeczywiście oznacza \(\displaystyle{ arg}\) jako argument głowny, z kolei angielska wiki na odwrót - \(\displaystyle{ Arg}\) jako główny.