Matematyka.pl

Dwóch graczy: Adam i Bob, strzelają naprzemiennie i niezależnie od siebie do małego celu. Każdy strzał kosztuje \(\displaystyle{ 1}\)zł. Zaczyna się od Adama, który trafia z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\). Bob uderza z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3} }\). Gra kończy się, gdy jeden z nich trafi - wtedy otrzymuje nagrodę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Adam zdobędzie tę nagrodę.
Oblicz przewidywaną kwotę pieniędzy, jaką gracze wydadzą na tę grę. Bardziej formalnie, jeśli X oznacza liczbę rund, w których wygrywa Adam lub Bob, to pytanie brzmi: znaleźć EX.

Jakieś własne próby rozwiązania? W którym momencie pojawia się problem?

Jeżeli chodzi o pierwszą część zadania to myślę że odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{8} }\)

To, że Adam wygra kiedykolwiek jest na pewno bardziej prawdopodobne, niż to, że wygra już w pierwszym strzale. Więc szukane prawdopodobieństwo musi być na pewno większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Mam nadzieję, że to jest jasne i rozumiesz, dlaczego odpowiedz \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) nie może być poprawna.

Tutaj rozbicie się samo narzuca:
-albo Adam wygra w pierwszym strzale
-albo Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam trafi
-albo Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam trafi,
...

i tak dalej.

Oznaczenia:

\(\displaystyle{ A }\) - zdarzenie "trafił Adam",

\(\displaystyle{ P(A) = p = \frac{1}{2}, }\)

\(\displaystyle{ B }\) - zdarzenie "trafił Bob",

\(\displaystyle{ P(B) = q = \frac{1}{3},}\)

\(\displaystyle{ AW }\) - zdarzenie "Adam wygra" (zdobędzie nagrodę),

\(\displaystyle{ P(AW) }\) - prawdopodobieństwo zdarzenia "Adam zdobędzie nagrodę.

Mamy doczynienia z nieskończoną sumą niezależnych zdarzeń losowych o prawdopodobieństwach:

\(\displaystyle{ P(AW) = p +(1-p)\cdot (1-q)\cdot p + (1-p)^2\cdot (1-q)^2\cdot p + (1-p)^3\cdot (1-q)^3\cdot p+ }\)

\(\displaystyle{ \ \ ... = p\cdot [ (1-p)\cdot(1-q)+ (1-p)^2(1- q)^2+(1-p)^3\cdot(1-q)^3+...] }\)

Jest to suma nieskończonego szeregu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ r = (1-p)\cdot (1-q), \ \ 0<r<1. }\)

\(\displaystyle{ P(AW) = p \cdot \frac{1}{1 - (1-p)(1-q)} = p\cdot \frac{1}{1 -(1-q-p+pq)}= \frac{p}{p+q -pq}. }\)