Jednostajna zbieżność i kryterium Weierstrassa

[cmnstrnbnn]

Z wykładów po przekonującym dowodzie dowiedziałem się, że \(\displaystyle{ f_{n}(x)= \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{k!} }\) jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=e^{x}}\), bo dąży jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[ -M, M\right] }\) dla dowolnego M rzeczywistego, ale już nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nie jest.



Pojawia się tylko jeden problem. Dowiedziałem się również, że szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie wtedy gdy spełnia kryterium Weierstrassa. Sprawdźmy więc szereg \(\displaystyle{ f_{n}}\) jest zbieżny jednostajnie.

Niech \(\displaystyle{ x \in \left[ -M, M\right] }\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{x^{k}}{k!} \le \frac{M^{k}}{k!}=a_{k} }\), a szereg \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}}\) jest zbieżny, więc \(\displaystyle{ f_{n}}\) jest zbieżny jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ \left[ -M, M\right] }\). Tylko dlaczego z dowolności wyboru liczby \(\displaystyle{ M}\) nie wynika, że zbieżność jest jednostajna nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)? Czy istnieje taki szereg funkcyjny, aby z kryterium Weierstrassa wynikało, że jest on zbieżny jednostajnie nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

Z góry dziękuję za pomoc

[Janusz Tracz]

Tylko dlaczego z dowolności wyboru liczby \(\displaystyle{ M}\) nie wynika, że zbieżność jest jednostajna nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

Moralnie z tego samego powodu dla którego \(\displaystyle{ (\forall M\in\NN)}\) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M}1<\infty }\) ale \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1 = \infty }\).

Czy istnieje taki szereg funkcyjny, aby z kryterium Weierstrassa wynikało, że jest on zbieżny jednostajnie nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

Kryterium Weierstrassa nie precyzuje jaka ma być dziedzina. Ważne jest jedynie by zachodziło odpowiednie szacowanie. Przykładowo jeśli \(\displaystyle{ (f_n)_{n=1}^{\infty}}\) jest rodziną funkcji wspólnie ograniczonych powiedzmy przez \(\displaystyle{ B}\) to szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{f_n}{n^2} }\) zbiega jednostajnie.

[cmnstrnbnn]

Tylko właśnie nadal "nie czuję", gdzie jest problem w moim rozumowaniu. Sprawdzam z kryterium d' Alemberta, czy szereg \(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k=0} \frac{M^{k}}{k!} }\) jest zbieżny

\(\displaystyle{ \lim_{k \to\infty } \frac{M^{k+1}}{(k+1)!} \cdot \frac{k!}{M^{k}}= \lim_{ k\to \infty } \frac{M}{k+1} }\)
I właśnie niezależnie od tego jak duże to M dobiorę, to i tak powyższa granica będzie równa 0. A to już prowadzi do zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{M^{k}}{k!} }\) Bardzo mi zależy nad tym by zrozumieć, dlaczego operacja wykonana przeze mnie nie jest prawdziwa.

[Jan Kraszewski]

Tylko dlaczego z dowolności wyboru liczby \(\displaystyle{ M}\) nie wynika, że zbieżność jest jednostajna nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

A zapisałeś porządnie, z kwantyfikatorami, założenie kryterium Weierstrassa? Potrafisz pokazać, że ten szereg spełnia to założenie na całej prostej?

Żeby mieć spełnione to założenie, musisz znaleźć uniwersalną majorantę, wspólną dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in\RR}\). To, że potrafisz to zrobić dla \(\displaystyle{ x}\)-ów z dowolnego ograniczonego przedziału nic Ci nie daje, bo im większy przedział, tym większa majoranta i nie znajdziesz "majoranty majorant" dobrej dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in\RR}\) (bo te majoranty rosną nieograniczenie).

Mówiąc inaczej: z tego, że odliczając "jeden, dwa, trzy, itd" potrafisz w skończonym czasie odliczyć do dowolnej liczby naturalnej nie oznacza, że potrafisz w skończonym czasie odliczyć do nieskończoności...

JK

[a4karo]

Po prostu niezależnie od tego która funkcje weźmiesz, różnica między nią a funkcja graniczna będzie ogromna (choć im większy numer weźmiesz, tym dalej tej ogromnosci trzeba szukać)

Dodano po 1 minucie 32 sekundach:
A zbieżność jednostajna mówi, że jak weźmiesz duży numerem funkcji, to różnica między nią i funkcja graniczna będzie niewielka zawsze.

[Janusz Tracz]

Ciąg funkcji \(\displaystyle{ x^2/n}\) zbiega punktowo do \(\displaystyle{ 0}\) oraz jednostajnie na zwartych podzbiorach \(\displaystyle{ \RR}\). Ale widać dlaczego nie zbiega jednostajnie na \(\displaystyle{ \RR}\). Nieważne, że dla dowolnego \(\displaystyle{ M}\) oraz \(\displaystyle{ \epsilon}\) dobierzesz \(\displaystyle{ N}\) takie, że dla \(\displaystyle{ n>N}\) będzie \(\displaystyle{ \sup_{x\in[-M,M]}|x^n/n|<\epsilon}\). Widać, że jak oddalisz się dostatecznie daleko to zobaczysz parabolę daleko od poziomej osi.

Z szeregiem sytuacja jest taka sama. Tylko mowa o sumach częściowych traktowanych jak ciąg funkcyjny. A zamiast osi poziomej jest wykres \(\displaystyle{ e^x}\).

[cmnstrnbnn]

Chyba już czuję gdzie zachodzi problem, dziękuję za pomoc!