Matematyka.pl

Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ y''=e^{2y}}\)

Wskazówka: Zobacz, że jak sobie przemnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ 2y'}\) to lewej stronie zobaczysz \(\displaystyle{ \left((y')^2\right)'}\), a po prawej \(\displaystyle{ \left(e^{2y}\right)'}\).

Mógłbyś rozpisać, co dalej zrobić? Calkujemy obustronnie?

\(\displaystyle{ y'' = e^{2y}. }\)

\(\displaystyle{ y' = p, }\)

\(\displaystyle{ \frac{dp}{dy} \cdot p = e^{2y},}\)

\(\displaystyle{ p dp = e^{2y}\cdot dy, }\)

Całkujemy obustronnie:

\(\displaystyle{ \int p dp = \int e^{2y} dy, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}p^2 = \frac{1}{2}e^{2y} +c, }\)

\(\displaystyle{ p^2 = e^{2y} + C, \ \ C = 2c, }\)

\(\displaystyle{ p = \pm \sqrt{e^{2y}+ C}. }\)

Wracamy do podstawienia:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{e^{2y}+ C} }\)

Rozdzielamy zmienne:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{\pm \sqrt{e^{2y}+ C}} = dx }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{\pm \sqrt{e^{2y}+ C}} = \int dx }\)

Całkę obliczamy metodą podstawienia:

\(\displaystyle{ \pm \sqrt{e^{2y}+ C} = u,\ \ e^{2y} = u^2 - C, \ \ 2e^{2y}dy = 2udu, \ \ e^{y} dy = udu, }\)

.....................................................................................