Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ U=\left\{(x_1,x_2): x^3_1+x^3_2=2 \right\} }\). Wówczas wektor \(\displaystyle{ v=(1,−1)^T}\) jest styczny do U:
Wybierz jedną lub więcej:
a. żadna z podanych odpowiedzi nie jest poprawna.
b. w punktach należących do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ (a,b): \left| a\right| =\left| b\right| \right\} }\)
c. w punkcie \(\displaystyle{ (−1,−1)}\).
d. w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\).
e. w punkcie \(\displaystyle{ ( \sqrt[3]{2},0 )}\).
I dlaczego taka odpowiedź?

\(\displaystyle{ U}\) jest poziomicą funkcji \(\displaystyle{ F(x_1, x_2) = x_1^3 + x_2^3}\), więc w każdym punkcie \(\displaystyle{ (a, b) \in U}\) wektorem prostopadłym do \(\displaystyle{ U}\) jest gradient \(\displaystyle{ \nabla F(a, b) = (3a^2, 3b^2)}\). Stąd wektor \(\displaystyle{ (1, -1)^{\top}}\) jest styczny do \(\displaystyle{ U}\) w punkcie \(\displaystyle{ (a, b)}\) dokładnie wtedy, gdy jest prostopadły do \(\displaystyle{ (3a^2, 3b^2)}\).