Matematyka.pl

Czy ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ f_{n}=\frac{1}{n} \ln(1+e^{nx})}\) jest zbieżny jednostajnie nad zbiorem liczb rzeczywistych?


Ogólnie wyszło mi, że ten ciąg zbiega punktowo do\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x &\text{dla } x \ge 0\\0 &\text{dla } x<0 \end{cases}}\).

Próbowałem to zrobić z definicji, czyli chciałem znaleźć ekstrema lokalne, ale pochodna wyrażenia \(\displaystyle{ f_{n}-f}\) z wyszła \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{-1}{1+e^{nx}} &\text{dla } x \ge 0\\\frac{e^{nx}}{1+e^{nx}} &\text{dla } x<0 \end{cases} }\). Problem pojawia się taki, że nie wiem co dalej zrobić, dlatego proszę tu o pomoc.

Dla \(\displaystyle{ x \le 0}\) jest

\(\displaystyle{ |f_n(x) -f(x)| = \frac{1}{n} \ln(1+e^{nx}) \le \frac{1}{n} \ln 2}\),

więc ta różnica zbiega jednostajnie do zera. Dla \(\displaystyle{ x > 0}\) z kolei

\(\displaystyle{ |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{n} \ln(1+e^{nx}) - x = \frac{1}{n} \ln(1+e^{nx}) - \frac{1}{n} \ln e^{nx} = \frac{1}{n} \ln \frac{1+e^{nx}}{e^{nx}} = \frac{1}{n} \ln(1+e^{-nx})}\)

i to wyrażenie zbiega jednostajnie do zera z tego samego powodu co wcześniej, bo \(\displaystyle{ -x < 0}\).

A skoro ciąg jest zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ (-\infty, 0]}\) i na \(\displaystyle{ (0, \infty)}\), to oczywiście jest też zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ \RR}\).