Dzień dobry
Jak sobie poradzić, gdy nie mogę łatwo stwierdzić, co jest moim \(\displaystyle{ a_{n}}\)?
Trzeba policzyć, jaki jest promień zbieżności szeregu, funkcje graniczne i czy na uzyskanym przedziale jest jednostajnie zbieżny.
a) \(\displaystyle{ x \ge 0}\), \(\displaystyle{ f_{n}(x)= \frac{1}{1+nx} }\)
b) \(\displaystyle{ f_{n}(x)=2n^{2}xe^{-n^{2}x^{2}}}\)
Re: Zbieżność szeregu funkcyjnego
: 21 cze 2022, o 09:28
autor: Dasio11
Nie można obliczyć promienia zbieżności, bo to z definicji wielkość związana tylko z szeregami potęgowymi (czyli szeregami postaci \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\)), a podane ciągi funkcyjne nawet nie są szeregami. Odnośnie reszty, na którym etapie jest problem? Jeśli nie potrafisz od razu zgadnąć funkcji granicznej, to weź kilka losowych iksów: \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ x= \pi}\) - i oblicz granicę ciągu, a potem spróbuj uogólnić.
Re: Zbieżność szeregu funkcyjnego
: 21 cze 2022, o 13:03
autor: Niepokonana
Aaaa ok to można zgadnąć to ja zgadnę a Ty powiesz czy dobrze. Pierwsza dąży do funkcji tożsamościowo równej zero i druga też.
Dodano po 34 sekundach:
Przy czym tylko dla niezerowych iksów.
Re: Zbieżność szeregu funkcyjnego
: 21 cze 2022, o 14:15
autor: Janusz Tracz
Niedydaktyczne rozwiązanie podpunktu (a):
Jednostajna granica funkcji ciągłych jest funkcja ciągłą.
Niepotrzebnie skomplikowane oraz niedydaktyczne rozwiązanie podpunktu (b):
Lemat 1. Jeśli \(\displaystyle{ \displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}\) na \(\displaystyle{ X}\), gdzie \(\displaystyle{ f_{1},f_2,\ldots,f:X\to Y}\) to dla każdego \(\displaystyle{ X_0\subset X}\) mamy \(\displaystyle{ \displaystyle f_{n}{\upharpoonright}_{X_0}\rightrightarrows f{\upharpoonright}_{X_0}}\) na \(\displaystyle{ X_0.}\)
Dowód. Pozostawiam jako ćwiczenie dla czytelnika.
Lemat 2. Niech ciąg \(\displaystyle{ (f_n)_{n=1}^{\infty}}\) funkcji ciągłych będzie zbieżny jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Wtedy \(\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x)\, \dd x\to \int_{0}^{1} f(x)\, \dd x,}\) gdy \(\displaystyle{ n\to \infty.}\)
Dowód. Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Niech \(\displaystyle{ N\in \NN}\) takie, że \(\displaystyle{ (\forall n \ge N)(\forall x\in [0,1]) \, |f_n(x)-f(x)|\le \epsilon}\) wtedy
Teraz pokażmy, że nie mamy zbieżności jednostajnej w podpunkcie (b). Załóżmy nie wprost, że jednak \(\displaystyle{ f_n}\) zbiega jednostajnie do funkcji zerowej (bo to jest granica punktowa \(\displaystyle{ f_n}\)) na \(\displaystyle{ \RR}\). Zatem \(\displaystyle{ \displaystyle f_{n}\rightrightarrows 0}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\) na mocy lematu 1. Więc na mocy lematu 2 ciąg \(\displaystyle{ \Big( \displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x)\, \dd x \Big)_{n=1}^{\infty} }\) zbiega do zera. Ale to sprzeczność bo \(\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x)\, \dd x= 1-e^{-n^2}\to 1.}\)
PS @Niepokonana preferowane jest jednak aby zrobić to tak jak Dasio11 radzi. To co ja proponuję to sztuczki które czasem zadziałają, a czasem nie (szczególnie to w podpunkcie (b)).
Re: Zbieżność szeregu funkcyjnego
: 21 cze 2022, o 16:01
autor: Dasio11
Skoro masz kandydatów na funkcje graniczne, to spróbuj udowodnić, że istotnie nimi są. Żeby zbadać zbieżność jednostajną, wyobraź sobie że grasz w następującą grę:
1. arek1357 wybiera liczbę \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\);
2. Ty wybierasz \(\displaystyle{ N \in \NN}\);
3. arek1357 wybiera liczbę \(\displaystyle{ n \ge N}\);
Jeśli dla wszystkich iksów z dziedziny zachodzi \(\displaystyle{ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon}\), wygrywasz. W przeciwnym razie wygrywa arek1357.
W przykładzie (a), tj. dla \(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{1}{1+nx}}\) i
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x = 0 \\ 0 & \text{dla } x > 0 \end{cases}}\),
arek1357 zaczyna wybierając \(\displaystyle{ \varepsilon = 1}\). Czy potrafisz wygrać z arkiem?