Matematyka.pl

Czy będzie ktoś łaskawy sprawdzić, czy to jest dobrze rozwiązane, pomijając uproszczony zapis niektórych oznaczeń?

W zadaniu należało wyznaczyć przestrzeń styczną, opisując ją funkcją afiniczną z \(\displaystyle{ \RR^2}\) w \(\displaystyle{ \RR^4}\). Twoje rozwiązanie kończy się określeniem jakiejś funkcji afinicznej z \(\displaystyle{ \RR^2}\) w \(\displaystyle{ \RR}\), więc nie odpowiada na zadane pytanie.

W ogóle wydaje się, że pracujesz z zupełnie innym zbiorem, bo zamiast dwóch równań u Ciebie pojawia się tylko jedno, będące wnioskiem z tamtych dwóch.

Bardzo dziękuję za odpowiedź
Czy będziesz łaskaw:
a) nakierować mnie na sposób rozwiązania
i/lub
b) podać prawidłową odpowiedź
i/lub
c) pokazać jakiś analogiczny przykład, który mnie nakieruje, jak to trzeba zrobić?

Opcja (c) jest pewnie najbardziej sensowna. Poszukałbym w dostępnych zbiorach zadań, starych egzaminach (nie tylko z Twojej uczelni) etc., ale samemu nie mam nic pod ręką, więc nic nie podsunę. Podobne zadania (czyli zadania typu "sprawdź czy coś jest rozmaitością") zazwyczaj wymagają zastosowania twierdzenia o funkcji uwikłanej; ten konkretny przypadek jest akurat prostszy.

Nie jest trudno zauważyć, że zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest wykresem pewnej funkcji \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2}\). Mianowicie drugie równanie pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ z}\) na podstawie \(\displaystyle{ x,y}\), a pierwsze pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ t}\) na podstawie \(\displaystyle{ x,y,z}\), a więc (korzystając z drugiego równania) na podstawie \(\displaystyle{ x,y}\). Efektem jest
\(\displaystyle{ z = \ln(2x+y)}\), \(\displaystyle{ t = x^2+y^2-(\ln(2x+y))^2}\),
czyli innymi słowy, że \(\displaystyle{ M}\) jest wykresem funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y) = (\ln(2x+y), x^2+y^2-(\ln(2x+y))^2)}\).
W interesującym nas obszarze jest to funkcja klasy \(\displaystyle{ C^1}\), co uzasadnia, że M jest (pod)rozmaitością klasy \(\displaystyle{ C^1}\).

Wzór na przestrzeń styczną do wykresu funkcji pewnie gdzieś w notatkach masz? Wyznacza się go na podstawie pochodnych funkcji \(\displaystyle{ f}\). Pierwsza i druga współrzędna funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\) jest zadana z góry (po prostu \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)), czwartą chyba wyznaczyłeś, brakuje jeszcze trzeciej.

Odgrzewam wątek.
Nie mam wzoru na przestrzeń styczną, nigdy nie robiłem takich zadań, nie mam żadnych przykładów podobnych do tego i dlatego szukam pomocy tutaj.

Dziękuję za wskazówki, spostrzeżenie, że jest to wykres funkcji z \(\displaystyle{ \RR^2}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest dla mnie cenne.
Natomiast końcówka nie jest dla mnie jasna, W końcu przypadku funkcji z \(\displaystyle{ \RR^2}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\) nie mówimy o jednej pierwszej pochodnej, tylko o całej macierzy pochodnych (macierzy Jacobiego). Mimo wszystko spróbuję.

Rozumiem, że to, co wkleiłem w pierwszym wpisie, ma sens. Zrobię więc coś podobnego dla zmiennej \(\displaystyle{ z}\).
Co teraz?