Matematyka.pl

Dzień Dobry:
mam taki problem:
weźmy prostokąt w kartezjańskim układzie współrzędnych \(\displaystyle{ x,y}\), o wierzchołkach w punktach \(\displaystyle{ (0,0),(b,0),(b,a),(0,a),a>0 , b>0}\)
Interesuje mnie dalej przekątna \(\displaystyle{ d}\) między punktami \(\displaystyle{ (0,0),(b,a)}\)
przekątna ta ma równanie \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a}{b}x,}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0,b]}\).
Bierzemy teraz ten prostokąt i zawijamy go w ten sposób, że bok długości \(\displaystyle{ b}\) staje się półokręgiem o średnicy \(\displaystyle{ \frac{2 b}{\pi}}\) , a cały prostokąt staje się połową pobocznicy walca. Wówczas przekątna \(\displaystyle{ d}\) prostokąta staje się fragmentem lini śrubowej. patrzymy od zewnątrz na ten kawałek lini śrubowej i rzutujemy go na płaszczyznę zawierającą boki \(\displaystyle{ a}\) prostokąta (na płaszczyznę zawierającą przekrój osiowy walca). Rzut tej lini śrubowej na wspomnianą płaszczyznę jest pewną krzywą o równaniu \(\displaystyle{ g(t)}\), dla \(\displaystyle{ t\in[0,\frac{2 b}{\pi}]}\)
Proszę o jakieś naprowadzenie , podpowiedź w jaki sposób wyznaczyć wzór funkcji \(\displaystyle{ g(t)}\) dla dla \(\displaystyle{ t\in[0,\frac{2 b}{\pi}]}\)

\(\displaystyle{ }\)

Zakładam, że chodzi o funkcję \(\displaystyle{ g(t)}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ ( \frac{2b}{ \pi }, a) }\).
Wyobrażam sobie to tak: po osi walca (na rzutni to \(\displaystyle{ t=\frac{b}{ \pi }}\)) przesuwa się pisak, jednocześnie się obracając. Obrót jest proporcjonalny do przesuwu więc \(\displaystyle{ g( \alpha )=\frac{a \alpha }{ \pi } }\).
Jednocześnie każdy punkt pisaka jest rzutowany na płaszczyznę \(\displaystyle{ t0g}\) gdzie \(\displaystyle{ t=\frac{b}{ \pi }-\frac{b}{ \pi }cos \alpha}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\).
Wystarczy połączyć te wzory, i uzyskuje się:
\(\displaystyle{ g(t)=\frac{a}{ \pi } \arccos (1-\frac{ \pi }{ b } t) }\)

ok - rozumię, że \(\displaystyle{ t=\frac{b}{\pi} - \frac{b}{\pi}\cos \alpha}\) jest długością rzutu łuku opartego na kącie środkowy \(\displaystyle{ \overrightarrow{0\alpha}}\) na średnicę walca,
ale nie bardzo rozumiem sprawę z tym obracającym się i jednocześnie przesuwającym pisakiem pisakiem



\(\displaystyle{ }\)

Dodano po 15 minutach 13 sekundach:
ok - już chyba zajarzyłem - pisak o średnicy \(\displaystyle{ \frac{2b}{\pi}}\) porusza się ruchem, który jest złożeniem ruchu jednostajnie postępowego wzdłuż osi walca z ruchem obrotowym o osi obrotu pokrywającej się z osią walca...?

Dodano po 6 minutach 58 sekundach:
a współczynnik \(\displaystyle{ \frac{a}{\pi}}\) jest dobrany z tego względu aby "było dobrze na końcach przedziału" ...?

sdamian pisze: 19 cze 2022, o 20:51 ok - rozumię, że \(\displaystyle{ t=\frac{b}{\pi} - \frac{b}{\pi}\cos \alpha}\) jest długością rzutu łuku opartego na kącie środkowy \(\displaystyle{ \overrightarrow{0\alpha}}\) na średnicę walca,

Nie. Punkt spirali (dla danego \(\displaystyle{ \alpha}\) ) rzutuję na płaszczyznę \(\displaystyle{ t0g }\), a uzyskany obraz na oś \(\displaystyle{ 0t}\). To wzorek na odległość punktu na osi \(\displaystyle{ 0t}\) od początku układu jako funkcji kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) .

sdamian pisze: 19 cze 2022, o 20:51 ok - już chyba zajarzyłem - pisak o średnicy \(\displaystyle{ \frac{2b}{\pi}}\) porusza się ruchem, który jest złożeniem ruchu jednostajnie postępowego wzdłuż osi walca z ruchem obrotowym o osi obrotu pokrywającej się z osią walca...?

Tak. Co prawda sugerowałem pisak (promień wodzący) połowę krótszy, lecz to bez znaczenia.

sdamian pisze: 19 cze 2022, o 20:51 a współczynnik \(\displaystyle{ \frac{a}{\pi}}\) jest dobrany z tego względu aby "było dobrze na końcach przedziału" ...?

Owszem.