Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) będzie zbiorem mierzalnym takim, że \(\displaystyle{ \int_{A×A}(x − y)^2 d\lambda_2(x, y) < \infty}\) .
(a) Udowodnić, że zbiór A ma skończoną miarę Lebesgue’a

Jak takie coś się pokazuję, będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc

Wskazówka: załóż nie wprost, że ta miara jest nieskończona, i wykaż że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi $$\lambda( A \cap [-n, n] ) \ge 1 \qquad \& \qquad \lambda( A \setminus [-n-1, n+1] ) = \infty.$$

Ja bym to ugryzł twierdzeniem Fubiniego (zakładam, że miara z zadania to 2-wymiarowa miara Lebesgue'a); być może do tego sprowadza się post powyżej, ale nie do końca widzę w jaki sposób, dlatego ośmielam się to zaproponować jako inny sposób.

Edit: Ponieważ post jest dość stary (dopiero to zauważyłem), to czy mógłbym prosić autora pierwszej odpowiedzi o krótkie rozwinięcie zawartej w nim podpowiedzi?

Weźmy \(\displaystyle{ n}\) o podanych własnościach i niech \(\displaystyle{ B = A \cap [-n, n]}\), \(\displaystyle{ C = A \setminus [-n-1, n+1]}\). Wtedy \(\displaystyle{ (x-y)^2 \ge 1}\) dla \(\displaystyle{ (x, y) \in B \times C}\) i \(\displaystyle{ \lambda_2(B \times C) = \infty}\), co jest sprzeczne z założeniem.