Matematyka.pl

Sprawdzić, czy szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n!} }\) jest zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ [-1,1].}\)

Rzut oka na przybliżenie \(\displaystyle{ \arctan t \approx t-\frac{t^3}{3}}\) w okolicach zera (ta aproksymacja wynika np. ze wzoru Taylora) sugeruje, że poza zerem nie ma nawet zbieżności punktowej (BTW na pewno dobrze przepisane?). Formalizuje się to tak, że warunkiem koniecznym zbieżności jednostajnej na danym zbiorze jest zbieżność punktowa, a dla ustalonego iksa to jest jak zbieżność szeregu liczbowego z parametrem, tj. z kolei jej warunkiem koniecznym jest to, by wyrazy zbiegały do zera, a jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0}\), to również \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}|a_n|=0}\), no i do wykazania, że to ostatnie (poza zerem) nie zachodzi, przydaje się wspomniana aproksymacja.

Przepraszam, powinno być \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n^n} }\)

Kryterium Weierstrassa daje odpowiedź

Poza tym \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{2^nn!}{n^n} }\) jest zbieżny.