granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
allofon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 lis 2005, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: allofon » 21 paź 2007, o 18:20

Znajdź granicę ciągu określonego wzorem \(\displaystyle{ a_n=(n!)^{1/n}}\).

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski » 21 paź 2007, o 19:12

Udowodnimy, że ciąg ten jest rozbieżny do nieskończoności:
\(\displaystyle{ n!^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{\ln (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)}{n}}=e^{\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}}=H=e^{\frac{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}{1}}=e^{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}} \rightarrow \infty}\)

allofon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 lis 2005, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: allofon » 21 paź 2007, o 19:25

nie rozumiem pierwszego znaku równości, nie wiem co to H, nie wiem czemu to ostatnie rośnie nieograniczenie

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: soku11 » 21 paź 2007, o 19:27

Pierwszy znak rownosci:
\(\displaystyle{ x=e^{\ln (x)}\ x>0\\}\)

To ze zwyklych logarytmow (tutaj masz podstawe e tylko).

Co do H - twierdzenie delopitala - poczytaj na np wikipedii. POZDRO

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski » 21 paź 2007, o 19:28

\(\displaystyle{ n!=e^{\ln (n!)}=e^{\ln (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n)}}\)
H oznacza regułę de l'Hospitala
liczymy wtedy pochodną licznika i mianownika (tutaj ograniczamy się w regule de l'Hospitala do wykładnika liczby e)
Ciąg \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}\) jest ciągiem harmonicznym rzędu pierwszego i jako taki jest rozbieżny do nieskończoności :wink:

allofon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 lis 2005, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: allofon » 21 paź 2007, o 19:49

nie da sie tego zrobić tego nie używając tej reguły? nie znam jej jeszcze... Spróbuję zrozumieć, ale nie mogę przedstawić takiego rozwiązania... Wystarczy wskazówka.

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Rogal » 23 paź 2007, o 18:17

Trochę bym się zastanowił nad stosowaniem de l'Hospitala przy funkcji nieciągłej, a więc nieróżniczkowalnej.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski » 23 paź 2007, o 22:03

Znaczy, żeby była jasność, ja stosuję regułę de l'Hospitala tylko do wykładnika. Mogę tak zrobić, ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\to \infty} f(x)}}\) :wink:

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: andkom » 24 paź 2007, o 19:21

Ustalmy dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ M}\). Dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\geqslant 2M+\log_2M^{2M}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!}\geqslant\sqrt[n]{(2M+1)(2M+2)(2M+3)\cdots n}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{(2M)^{n-2M}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{n-2M}}\geqslant\\
\geqslant\sqrt[n]{M^{n-2M}2^{\log_2M^{2M}}}=\sqrt[n]{M^{n-2M}M^{2M}}
=\sqrt[n]{M^n}=M}\)

Stąd (patrz definicja granicy ciągu) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty}\)

Pomysły z de l'Hospitalem ze względu na zmienną liczbę składników nie są dobre.

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Sir George » 25 paź 2007, o 19:47

Znaczy, żeby była jasność, ja stosuję regułę de l'Hospitala tylko do wykładnika. Mogę tak zrobić,... tylko, czy robisz dobrze? Bo zamiana ciągu na funkcję ciągłą, tj. "wstawienie" \(\displaystyle{ x}\) za \(\displaystyle{ n}\) nie jest takie hop siup - bo zamiast \(\displaystyle{ n!}\) musisz wstawić funkcję gamma \(\displaystyle{ \Gamma(x+1)}\).
I teraz pytanie: umiesz różniczkować funkcję gamma?

Pozdrawiam :mrgreen:

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 paź 2007, o 21:19

Nie łapię zupełnie o co Ci chodzi. Mogę sobie równie dobrze na boku policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{\ln 1+\ln 2+...+\ln n}{n}=H=\lim{n\to \infty}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})=\infty}\), a zatem na mocy granicy, którą właśnie wliczyłem oraz poprzednich przekształceń:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!}=[e^{\infty}]=\infty}\)
Tutaj uznałem, że po prostu ciąg opisany w zadaniu jest opisany dokładnie tą samą funkcją, którą tutaj napisałem, z tymże po prostu różni się dziedziną \(\displaystyle{ D_{f(x)}=R \ D_{a_{n}}=N}\), a więc ten ciąg ma granicę nieskończoności równą granicy tej funkcji.
Odpowiadając na pytanie, może umiałbym zróżniczkować taką funkcję, jeślibym wiedział co to jest za funkcja. Jeśli mój tok myślenia jest niepoprawny lub nieścisły, to proszę o poprawienie

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: andkom » 25 paź 2007, o 21:34

No to ile będzie \(\displaystyle{ \ln1+\ln2+\cdots+\ln n}\) dla \(\displaystyle{ n=3\frac12}\)?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: Piotr Rutkowski » 25 paź 2007, o 21:38

No, ale napisałem, że dziedziną są liczby naturalne, więc nie rozumiem

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: luka52 » 25 paź 2007, o 21:52

polskimisiek, jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych, to jak obliczysz granicę ilorazu różnicowego

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

granica ciągu, n-ty pierwiastek z silni

Post autor: andkom » 25 paź 2007, o 21:56

polskimisiek pisze:Tutaj uznałem, że po prostu ciąg opisany w zadaniu jest opisany dokładnie tą samą funkcją, którą tutaj napisałem, z tymże po prostu różni się dziedziną \(\displaystyle{ D_{f(x)}=R \ D_{a_{n}}=N}\),
Inne argument (pokazujący, że nie można tak różniczkować sum, w których liczba składników nie jest stała):

Policzmy pochodną \(\displaystyle{ x^2}\) (inaczej: \(\displaystyle{ n^2}\)).
\(\displaystyle{ (n^2)'=(n+n+\cdots+n)'=n'+n'+\cdots+n'=1+1+\cdots+1=n}\)
Zatem \(\displaystyle{ (x^2)'=x}\). A co się stało z dwójką?

Policzmy pochodną \(\displaystyle{ x}\) (inaczej: \(\displaystyle{ n}\)).
\(\displaystyle{ n'=(1+1+\cdots+1)'=1'+1'+\cdots+1'=0+0+\cdots+0=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ x'=0}\). Hmm.

ODPOWIEDZ