Matematyka.pl

Dane jest równanie \(\displaystyle{ x+y+z=5}\) Liczba takich rozwIązań \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) tego równania, że \(\displaystyle{ x,y,z}\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi wynosi.

Mamy pięć jedynek. Między nimi są cztery miejsca z czego dwa to plusy, więc \(\displaystyle{ {4 \choose 2} = 6}\) możliwości

A takie coś: `+11111+`?

Nie mam pomysłu na to zadanie. Pomoże ktoś?

A ile jest rozwiązań \(\displaystyle{ x+y= j }\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq j \leq 5}\) ?

1.\(\displaystyle{ 0 + 5}\)
2 \(\displaystyle{ 1 + 4}\)
3 \(\displaystyle{ 2+ 3}\)
4 \(\displaystyle{ 3 + 2}\)
5 \(\displaystyle{ 4 + 1}\)
6 \(\displaystyle{ 5 + 0}\)
Daje to 6 możliwości, ale nie wiem jak przełożyć to na powyższe zadanie

Dodano po 1 godzinie 1 minucie 47 sekundach:

Dane jest równanie \(\displaystyle{ x+y+z=5}\) Liczba takich rozwIązań \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) tego równania, że \(\displaystyle{ x,y,z}\) są liczbami całkowitymi nieujemnymi wynosi.

I jak to rozwiązać?

Rozwiązanie które tu podałeś

NIEzdolny pisze: 9 cze 2022, o 23:35 Mamy pięć jedynek. Między nimi są cztery miejsca z czego dwa to plusy, więc \(\displaystyle{ {4 \choose 2} = 6}\) możliwości

jest poprawne.

`0+0+5\\
0+5+0\\
5+0+0`
to już trzy. A jest jeszcze parę innych

Czy to jest poprawne rozumowanie?
1. \(\displaystyle{ 0,0,5}\) - 3 możliwości
2. \(\displaystyle{ 0,1,4}\) - 3! możliwości
3. \(\displaystyle{ 0,2,3}\) - 3! możliwości
4. \(\displaystyle{ 3,1,1}\) - 3 możliwości
5. \(\displaystyle{ 2,2,1}\) - 3 możliwości
Razem daje to 21 możliwości.

Tak.

Dodano po 11 godzinach 31 minutach 31 sekundach:
Jeżeli szukać kombinatorycznego dowodu, to mamy siedem miejsc, na których musimy umieścić pięć jedynek i dwa plusy.
Rozwiązań jest zatem \(\displaystyle{ \binom{7}{2}. }\)