Matematyka.pl

Proszę mi powiedzieć, czy dobrze myślę.
Mamy rozkład ciągły i jakąś taką funkcję bodajże funkcję gęstości: \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4} &\text{dla } x\in [0;5] \\ 0 &\text{w pp.} \end{cases} }\). I trzeba policzyć prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ x\in [1.1;4.9]}\). Czy tutaj wystarczy podzielić długości przedziałów przez siebie? Co by było, gdyby tam zamiast jednej czwartej była jakaś funkcja np. liniowa?

Ta funkcja nie może być gęstością zmiennej losowej, bo się nie całkuje do jedynki. Może tam powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) albo przedział \(\displaystyle{ x \in [0,4]}\)?

Ogólnie, to, że \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) oznacza mniej więcej tyle, że mamy równość \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \in A) = \int_A f(x)\mbox{d}x}\) dla odpowiednio niebrzydkich zbiorów \(\displaystyle{ A}\).

W tym przypadku będzie tak, jak mówisz i to intuicyjnie można stwierdzić (tak, jak to zrobiłaś) albo można policzyć \(\displaystyle{ \int_{1.1}^{4.9} f(x)\mbox{d}x}\). Jeśli jest inna gęstość, to będzie inna całka.

Ano faktycznie. Tam był przedział od jedynki do piątki. Aaa dobra, czyli w ogólności liczy się całkę (my na kolokwium na razie mamy raczej niebrzydkie zbiory), a w szczególności liczy się to poprzez podzielenie. Dzięki.

Tak, w tej konkretnej szczególności tak. Bo ten rozkład, który podałaś, to rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,4]}\) czyli intuicyjnie każdy punkt ma takie same prawdopodobieństwo na losowanie. Dlatego, prawdopodobieństwo, że wylosujemy punkt z jakiegoś przedziału \(\displaystyle{ A \subset [1,5]}\) to \(\displaystyle{ \frac{|A|}{4}}\). Wynika to też z całki:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \in A) = \int_{A} f(x)\mbox{d}x = \frac{1}{4}\int_{A} 1\mbox{d}x = \frac{1}{4} |A|}\),

dla \(\displaystyle{ A \subset [1,5]}\) oczywiście.