Matematyka.pl

Wiadomo, że ciągłość funkcji `|f|` nie implikuje ciągłości funkcji `f`.
A czy ciągłość \(\displaystyle{ |f'|}\) pociąga za sobą ciagłość \(\displaystyle{ f'}\) ?

Niech \(\displaystyle{ f(x)= -\frac{1}{3}x^{3}-x\ dla\ x<0 }\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+x\ dla\ x \ge 0 }\).
Wtedy jej pochodna jest nieciągła, ale jej moduł \(\displaystyle{ |f'(x)|=|x^{2}+1|}\)jest ciągły.
Więc odpowiedź brzmi 'nie'.
Albo się mylę.

Mylisz się. Ta funkcja nie jest różniczkowalna w zerze.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f:U\rightarrow\RR}\) jest funkcją różniczkowalną (gdzie \(\displaystyle{ U}\) jest zbiorem otwartym) oraz \(\displaystyle{ |f'|}\) jest funkcją ciągłą. Ustalmy \(\displaystyle{ x_0\in U}\) i niech \(\displaystyle{ U_0}\) będzie przedziałem otwartym zawartym w \(\displaystyle{ U}\), w którym leży \(\displaystyle{ x_0}\).

Jeśli \(\displaystyle{ f'(x_0)=0}\), to \(\displaystyle{ f'}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\) (zostawiam prosty rachunek). Załóżmy, że \(\displaystyle{ f'(x_0)\neq 0}\) i przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f'}\) nie jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\). Pokażemy, że

\(\displaystyle{ \forall_{\delta>0}\exists_{x\in U}\left(|x-x_0|<\delta \wedge f'(x)=0\right)}\)

Ustalmy \(\displaystyle{ \delta>0}\) i rozważmy zbiór \(\displaystyle{ D=U_0\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\). Gdyby funkcja \(\displaystyle{ f'|_D}\) miała stały znak, to \(\displaystyle{ f'|_D=|f'||_D}\) lub \(\displaystyle{ f'|_D=-|f'||_D}\). W obu przypadkach \(\displaystyle{ f'}\) byłaby ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\). Zatem istnieją w zbiorze \(\displaystyle{ D}\) dwa punkty, na których \(\displaystyle{ f'}\) ma różne znaki. Z własności Darboux pochodnej istnieje szukany punkt \(\displaystyle{ x}\).

Wobec pokazanej własności istnieje ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów \(\displaystyle{ U}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x_0}\) taki, że \(\displaystyle{ f'(x_n)=0}\). Z drugiej strony z ciągłości \(\displaystyle{ |f'|}\) jest \(\displaystyle{ |f'(x_n)|\to |f'(x_0)|\neq 0}\). Sprzeczność.

dobrze (szczegóły do dopracowania) . Ale wprowadziłeś założenie, którego w zadaniu nie było

Jeśli masz na myśli założenie, że funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to chyba mam kontrprzykład.

Istnienie pochodnej oznacza różniczkowalnosc w całej dziedzinie

Dodano po 31 sekundach:
Ale masz rację. O dziedzinę chodzi