Pierwiastek z liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Koojon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 sty 2007, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Orzesze
Podziękował: 13 razy

Pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: Koojon » 21 paź 2007, o 17:50

Coś takiego:

Obliczyć pierwiastek:

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{\frac{1-i}{\sqrt{3}+i}}}\)

Prosiłbym krok po kroku bo tego jeszcze nie rozumiem :/
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: soku11 » 21 paź 2007, o 19:08

Czyli musisz znalezc liczbe w, taka, ze:
\(\displaystyle{ w^6=z\quad z= \frac{1-i}{\sqrt{3}+i} \\
z=\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i}{\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}}=
\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{cos(\frac{7\pi}{4})+isin(\frac{7\pi}{4})} {cos(\frac{\pi}{6})+i sin(\frac{\pi}{6})}=
\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\frac{19\pi}{12}) +isin(\frac{19\pi}{12})) \\
w^6=\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\frac{19\pi}{12}) +isin(\frac{19\pi}{12})) \\
w_k=\sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}}(cos(\frac{19\pi}{12\cdot 6}+2k\pi)+isin(\frac{19\pi}{12\cdot 6}+2k\pi)\quad k\in\{ 0,1,...,5\} \\}\)


Podstawiasz poszsczegolne k i masz 6 pierwiastkow
POZDRO

richard88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 21 paź 2007, o 18:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krakow
Podziękował: 3 razy

Pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: richard88 » 21 paź 2007, o 19:13

jak jest zrobione przejscie z 1 do 2 linijki????

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: soku11 » 21 paź 2007, o 19:21

Musisz tak powyciagac, by znalezc odpowiednia wartosci f-cji trygonometrycznych. Tak wiec:
\(\displaystyle{ 1-i=\frac{2}{\sqrt{2}}(\frac{ \sqrt{2} }{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)=
\sqrt{2}(cos(\frac{7\pi}{4}+isin(\frac{7\pi}{4}))\\
\\
\sqrt{3}+i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2(cos(\frac{\pi}{6})+isin(\frac{\pi}{6}))
...}\)


POZDRO

richard88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 21 paź 2007, o 18:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krakow
Podziękował: 3 razy

Pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: richard88 » 21 paź 2007, o 19:30

no dobra,to juz jasne a w jakis sposob jest zrobionr przejscie z formy w ktorej w liczniku jest sin i cos , w mianowniku tak samo do formy bez kreski(jeden sin i cos ale z zmienionym argumentem)??jest na to jakis wzor ???

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: soku11 » 21 paź 2007, o 19:41

Bez zadnych kombinacji masz:
\(\displaystyle{ \frac{cos\alpha+isin\alpha}{cos\beta+isin\beta}=cos(\alpha-\beta)+isin(\alpha-\beta)}\)

POZDRO

ODPOWIEDZ