Strona 1 z 1
Podzielność i współczynniki
: 25 maja 2022, o 10:42
autor: mol_ksiazkowy
Czy wielomian \(\displaystyle{ x^{2n+1}+x^{2n}+ 1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^{2}+x+ 1}\) i czy wszystkie wspóółczynniki wielomianu \(\displaystyle{ \frac{ x^{2n+1}+x^{2n}+ 1}{x^2+x+1} }\) są równe \(\displaystyle{ \pm 1}\) ?
Re: Podzielność i współczynniki
: 25 maja 2022, o 15:07
autor: a4karo
\(\displaystyle{ \frac{x^{2n+1}+x^{2n}+1}{x^2+x+1}=\frac{x^{2n+1}+x^{2n}+x^{2n-1}-x^{2n-1}+1}{x^2+x+1}=x^{2n-1}-\frac{x^{2n-1}-1}{x^2+x+1}}\).
Stąd wynika, że podzielność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy `2n-1=3k`, dla pewnego naturalnego `k`.
W takim przypadku mamy
\(\displaystyle{ x^{2n-1}-\frac{x^{2n-1}-1}{x^2+x+1}=x^{3k}-\frac{(x^{3k}-1)(x-1)}{x^3k-1}=x^{3}k-x\frac{x^{3k}-1}{x^3-1}+\frac{x^{3k}-1}{x^3-1}=\\
x^{3k}
-x(x^{3(k-1)}+x^{3(k-2)}+\dots+1)\\
+x^{3(k-1)}+x^{3(k-2)}+\dots+1}\)
Widać zatem, że wszystkie współczynniki są równe `\pm1`