Strona 1 z 1

Zbadać zbieżność jednostajną

: 23 maja 2022, o 18:08
autor: sp1729
Zbadać zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \sin\left( \frac{x}{n}\right).}\)

Re: Zbadać zbieżność jednostajną

: 23 maja 2022, o 19:50
autor: Janusz Tracz
Aby zadanie miało sens trzeba powiedzieć na jakim zbiorze chcesz badać zbieżność jednostajną. Tak czy inaczej coś powiem o zadaniu. Ten szereg jest zbieżny niemal jednostajnie na \(\displaystyle{ \RR}\). To znaczy jeśli \(\displaystyle{ X \subset \RR}\) jest zwarty to tam mamy zbieżność jednostajną wynika to wprost z Kryterium Weierstrassa oraz nierówności \(\displaystyle{ \left| \sin \xi\right| \le \left| \xi\right| }\). Wystarczy zauważyć, że, gdy \(\displaystyle{ X \subset \RR}\) jest zwarty to

\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin \left( x/n\right) }{n} \right| \le \frac{\left| x\right| }{n^2} \le \frac{\displaystyle \sup \left\{ \left| x\right|:x\in X\right\} }{n^2} }\)
a \(\displaystyle{ \sum_{}^{} 1/n^2< \infty .}\)


Za to zbieżność jednostajna na \(\displaystyle{ \RR}\) (a raczej jej prawdopodobny brak) to ciekawa sprawa. Wydaje mi się, że można to zrobić pokazując, że ciąg sum częściowych nie spełnia jednostajnego warunku Cauchy’ego. Na temat tej funkcji są prace:

Kod: Zaznacz cały

londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s1-25.1.5
T. M. Flett ; On the Function \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \sin \frac{t}{n}}\)

Kod: Zaznacz cały

sciencedirect.com/science/article/pii/S0021904505000328#bib6
Horst Alzer, Christian Berg, Stamatis Koumandos; On a conjecture of Clark and Ismail

Istnieje ciąg \(\displaystyle{ y_k}\) na którym \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \sin \frac{y_k}{n} \to \infty }\) dla \(\displaystyle{ k\to \infty .}\) Choć rozbieżność ta jest bardzo wolna.

Re: Zbadać zbieżność jednostajną

: 23 maja 2022, o 23:02
autor: Dasio11
Ustalmy \(\displaystyle{ N \in \NN}\) i niech \(\displaystyle{ x = \frac{2 \pi}{3} \cdot N}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ N \le n \le 2N}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \le \frac{x}{n} \le \frac{2 \pi}{3}}\), więc

\(\displaystyle{ \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n} \sin \frac{x}{n} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n}}\).

Wiadomo, że dla dużych \(\displaystyle{ N}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{1}{n} \approx \ln 2}\),

co dowodzi że szereg nie spełnia warunku Cauchy'ego jednostajnej zbieżności, czyli nie jest jednostajnie zbieżny.