Matematyka.pl

Czy liczbę \(\displaystyle{ 2}\) w tym kryterium można zamienić na dowolną inną większą od \(\displaystyle{ 1}\)? Oczywiście stałe za bardzo nie wpływają na zbieżność, ale tak się zastanawiam.
Dlaczego na analizie nie podano nam tego kryterium, tylko kazano nam gnębić logarytmy kryterium porównawczym? Ja nie rozumiem.

Niepokonana pisze: 22 maja 2022, o 00:57 Czy liczbę \(\displaystyle{ 2}\) w tym kryterium można zamienić na dowolną inną większą od \(\displaystyle{ 1}\)?

Tak (oczywiście naturalną).

Kryterium Cauchy'ego zagęszczające - Wikipedia pisze:W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego szereg (B) można zastąpić szeregiem

\(\displaystyle{ \sum _{n=1}^{\infty }p^{n}\cdot a_{p^{n}}}\)

dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej \(\displaystyle{ p}\).

Można sformułować jeszcze bardziej ogólne twierdzenie Schlömilch's Generalization kładąc \(\displaystyle{ u(n)=2^{n}}\) czy \(\displaystyle{ u(n)=p^{n}}\) otrzymasz jako wniosek kryterium kondensacyjne.

Niepokonana pisze: 22 maja 2022, o 00:57 Dlaczego na analizie nie podano nam tego kryterium,

Bo wiedza tajemna jest tylko dla wybranych...

JK

Ale dlaczego musi być naturalna? Ja bym chciała czasem podstawić \(\displaystyle{ e}\), bo w zadaniach często mam logarytmy naturalne.

Czy to znaczy, że jestem wybrana? Czy że niedługo przyjdą po mnie smutni panowie?

Niepokonana pisze: 22 maja 2022, o 02:17 Ale dlaczego musi być naturalna?

Bo napis \(\displaystyle{ a_n,a_{2^n},a_{p^n}}\) ma sens, gdy indeks jest naturalny. Napis \(\displaystyle{ a_{e}}\) nie ma sensu. Przy czym niemożność wstawiania tam \(\displaystyle{ e}\) itp. nie jest problemem w zadaniach.

No dobrze, skoro tak uważasz.
No ale no ja proszę, jak ja mam niby policzyć z kryterium porównawczego zbieżność szeregu o entym wyrazie równym \(\displaystyle{ \frac{1}{n \ln n \ln (\ ln n)}}\). A z tego kryterium da się to w miarę szybko zrobić. Dlaczego oni nam to na analizie robią.

Niepokonana pisze: 22 maja 2022, o 02:37 No dobrze, skoro tak uważasz.

To nie jest subiektywne przekonanie. Ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest określony na \(\displaystyle{ \NN}\) więc napis \(\displaystyle{ a_e}\) nie na sensu. Tak samo napis \(\displaystyle{ \ln -7}\) czy \(\displaystyle{ 1/0}\). Napis \(\displaystyle{ a_e}\) jest jest błędem tego samego rodzaju. Chyba, że odnosisz się do stwierdzenia, że w zadaniach to nie przeszkadza. No i faktycznie podany szereg łatwo się robi ze standardowego kryterium kondensacyjnego. Swoją drogą trudno mi uwierzyć, że kazali Ci ten szereg z porównawczego zrobić. Tak czy inaczej zobacz dowód standardowego kryterium kondensacyjnego aby przekonać się o sile kryterium porównawczego. Swoją drogą praktycznie każde kryterium wynika z porównawczego co jest dość dobrym argumentem by go uczyć.

PS z kryterium całkowego (też wniosek z porównawczego) rozbieżność tego szeregu jest natychmiastowa.

To znaczy tego nie, ale takiego tylko bez drugiego logarytmu już tak. Generalnie nas uczą by do takich używać porównawczego. No dobrze, jest ważne, ale my chyba mamy być efektywni w szczególności na kolokwiach? A nie się męczyć szukając dobrego porównania. Ogólnie w tym semestrze analiza jest niefajna z powodu sposobu jej prowadzenia. Całkowego też nie mieliśmy, ale postanowiłam sama się nauczyć.