Matematyka.pl

Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości jednego zwoju jednorodnej linii śrubowej o skoku \(\displaystyle{ h}\) nawiniętej na walec o promieniu \(\displaystyle{ r}\).
Wskazówka: Linia śrubowa o skoku \(\displaystyle{ h}\) nawinięta na walec o promieniu \(\displaystyle{ r}\) ma równanie parametryczne: \(\displaystyle{ x(t) =r\cos t, y(t) =r\sin t, z(t) =\frac{h}{2\pi t}}\). Jeden zwój linii śrubowej otrzymamy, gdy \(\displaystyle{ t\in[0,2\pi]}\).

Zadanie pochodzi z "Elementów analizy wektorowej 2" Gewerta i Skoczylasa.
Nie wiem od której strony ruszyć to zadanie, jest w zestawie z obliczaniem całek krzywoliniowych, ale niewiele mi to pomaga. ;(

Z tej książeczki Geverta-Skoczylasa musimy skorzystać z następujących wzorów na zastosowania całek krzywoliniowych nieskierowanych:

- długość krzywej w przestrzeni:

\(\displaystyle{ |\Gamma| = \int_{\alpha}^{\beta} |\vec{r}|^{'} dt \ \ (1) }\)

- współrzędne środka ciężkości krzywej jednorodnej o gęstości liniowej \(\displaystyle{ \lambda(x,y,z) = 1 :}\)

\(\displaystyle{ x_{c} = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\alpha}^{\beta} r_{x}(t) dt\ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ y_{c} = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\alpha}^{\beta} r_{y}(t) dt \ \ (3) }\)

\(\displaystyle{ z_{c} = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\alpha}^{\beta} r_{z}(t) dt \ \ (4) }\)

gdzie

wektor wodzący jednego zwoju spirali

\(\displaystyle{ \vec{r}(t) = \left[ r_{x}(t), r_{y}(t), r_{z}(t) \right] = \left[r\cos(t), r\sin(t), \frac{1}{2\pi} t \right] \ \ (5) }\)


Na podstawie wzorów \(\displaystyle{ (1), (2), (3) , (4), (5) }\) proszę obliczyć następujące całki:


\(\displaystyle{ |\Gamma|= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(-r\sin(t))^2 + (r\cos(t))^2+ \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2} dt , }\)


\(\displaystyle{ x_{c} = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{0}^{2\pi} r\cos(t) dt , }\)


\(\displaystyle{ y_{c} =\frac{1}{|\Gamma|}\int_{0}^{2\pi} r\sin(t) dt , }\)


\(\displaystyle{ z_{c}= \frac{1}{|\Gamma|}\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2\pi}t dt. }\)

Uwzględniając symetrię osiową walca , gdzie będzie leżał środek ciężkości spirali ?

Geverta

tam jest w.

No tak Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej Gewert i Skoczylas ( GiS.)

Dzięki.