Matematyka.pl

jak z tego że \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ bc+1}\) i \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ ac+1}\) i \(\displaystyle{ c}\) dzieli \(\displaystyle{ ab+1}\) wywnioskować że \(\displaystyle{ a, b, c}\) są względnie pierwsze?
Z góry dziękuję za pomoc

Przypuśćmy nie wprost, że istnieje taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), która dzieli zarówno \(\displaystyle{ a, \ b}\), jak i \(\displaystyle{ c}\).
Wówczas \(\displaystyle{ p}\) (a nawet \(\displaystyle{ p^3}\), ale to nie jest nam potrzebne) dzieli liczbę \(\displaystyle{ (bc+1)(ac+1)(ab+1)=(abc)^2+abc(a+b+c)+ab+bc+ca+1}\). Jednakże łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ p}\) (a nawet \(\displaystyle{ p^2}\), ale to znowuż niepotrzebne) dzieli liczbę \(\displaystyle{ (abc)^2+abc(a+b+c)+ab+bc+ca}\), a przecież dla każdego \(\displaystyle{ x\in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ \NWD(x,x+1)=1}\), innymi słowy żadna liczba pierwsza nie może dzielić jednocześnie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x+1}\). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.