układ równań metodą Gaussa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
1987grzesiek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 29 kwie 2007, o 17:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra

układ równań metodą Gaussa

Post autor: 1987grzesiek » 21 paź 2007, o 17:09

Chciałbym prosić o pomoc w rozwiązaniu tych układów równań metoda Gaussa.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-z+t=1\\y+3z-3t=1\\x+y+z-t=1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-z-t=1\\x+y+z+3t=2\\3x+5y-z+t=3\end{cases}}\)

w tym pierwszym doszedłem do czegoś takiegom i nie wiem co dalej

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}2&1&-2&1&1\\0&1&3&-3&1\\0&0&3&0&0\end{array}\right]}\)

[ Dodano: 21 Października 2007, 17:28 ]
w drugim mi wyszło tak :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-1&1\\1&1&1&3&2\\3&5&-1&1&3\end{array}\right]}\)
W3-3W1
W2-W1
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-1&1\\0&-1&2&4&1\\0&-1&2&4&0\end{array}\right]}\)
W2-W3
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-1&1\\0&0&0&0&1\\0&-1&2&4&0\end{array}\right]}\)

czyli układ ten jest sprzeczny i nie ma rozwiązań ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6761
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

układ równań metodą Gaussa

Post autor: mariuszm » 28 paź 2007, o 01:57

Jeżeli przestawisz wiersz 2 i 3 to zauważysz że układ równań nie ma jednego rozwiązania

Należy skorzystać z twierdzenia Kroneckera-Capellego i sprawdzić czy rząd macierzy głównej jest
równy rzędowi macierzy dołączonej .


Jeżeli rzędy są równe to

ilosc swobodnych parametrów to ilość niewiadomych- rząd macierzy
Znaleźć podmacierz kwadratową o niezerowym wyznaczniku i przenieść
resztę niewiadomych do kolumny wyrazów wolnych
i zastosować jeszcze raz eliminację Gaussa
Jeżeli występują niepotrzebne równania to należy je skreślić
Podmacierz kwadratowa ma stopień równy rzędowi macierzy

Jeżeli rzędy macierzy są różne to brak rozwiązań

Rząd macierzy oraz wyznacznik również można obliczyć za pomocą
eliminacji Gaussa

W twoim przypadku rząd macierzy głównej jest równy 2
a rząd macierzy dołączonej jest równy 3
wiec układ równań jest sprzeczny co było widać
na pierwszy "rzut oka" ponieważ jeżeli w macierzy
głównej wiersz jest zerowy to ten sam wiersz w macierzy
dołączonej także powinien być zerowy
wynika to z tego że 0*x=0 i x+0=x

ODPOWIEDZ