Matematyka.pl

Obliczyć pole powierzchni powstałej w wyniku obrotu dookoła osi \(\displaystyle{ OY}\) wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=\arctan{x}, \quad x\in[0,1]. }\).

Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ 2 \pi \cdot \int_{0}^{1}{\arctan(x) \cdot \sqrt{1+ (\arctan(x)')^2 } } = 2 \pi \cdot \int_{0}^{1}{\arctan(x) \cdot \sqrt{1+ \left( \frac{1}{1+x^2}\right )^2 } } }\), i wychodzi mi ta dziwna całka, ktorej wolfram nawet nie może policzyć, czy ja to jakoś źle liczę?

Jesteś pewien, że nie korzystasz ze wzoru dla obrotu wokół osi OX?

Dasio11 pisze: 8 maja 2022, o 15:49 Jesteś pewien, że nie korzystasz ze wzoru dla obrotu wokół osi OX?

A, tak, zamiast \(\displaystyle{ \arctan }\)ma tam być x, ale i tak to dużo nie zmienia

\(\displaystyle{ |S| = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1+(\frac{1}{1+x^2})^2}\ \ dx = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{\frac{(1+x^2)^2+1}{(1+x^2)^2}} dx= 2\pi\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\sqrt{(1+x^2)^2 +1}\ \ dx }\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ 1+x^2 = t, \ \ 2xdx = dt, \ \ xdx = \frac{1}{2}dt }\)

\(\displaystyle{ = 2\pi\int_{1}^{2}\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{t^2+1}}{t} dt = \pi \int_{1}^{2}\frac{\sqrt{t^2+1}}{t} dt }\)

Stosujemy następne podstawienia:

\(\displaystyle{ t^2 +1 = u, }\)

albo

\(\displaystyle{ \sqrt{t^2 +1} = u. }\)

kt26420 pisze: 8 maja 2022, o 16:27

Dasio11 pisze: 8 maja 2022, o 15:49 Jesteś pewien, że nie korzystasz ze wzoru dla obrotu wokół osi OX?

A, tak, zamiast \(\displaystyle{ \arctan }\)ma tam być x, ale i tak to dużo nie zmienia

Oczywiście, że nie: gdy popatrzysz na wykres funkcji of strony osi `OY` to zobaczysz, że jest to wykres funkcji `x=\tan y`. Inne będą też granice całkowania (`y` się zmienia od ... do ...)

Dodano po 4 minutach 10 sekundach:

janusz47 pisze: 8 maja 2022, o 17:36 \(\displaystyle{ |S| = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1+(\frac{1}{1+x^2})^2}\ \ dx = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{\frac{(1+x^2)^2+1}{(1+x^2)^2}} dx= 2\pi\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\sqrt{(1+x^2)^2 +1}\ \ dx }\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ 1+x^2 = t, \ \ 2xdx = dt, \ \ xdx = \frac{1}{2}dt }\)

\(\displaystyle{ = 2\pi\int_{1}^{2}\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{t^2+1}}{t} dt = \pi \int_{1}^{2}\frac{\sqrt{t^2+1}}{t} dt }\)

Stosujemy następne podstawienia:

\(\displaystyle{ t^2 +1 = u, }\)

albo

\(\displaystyle{ \sqrt{t^2 +1} = u. }\)

Januszu: pomyśl logicznie. Jeżeli autor napisał, że zamiast `\arctan` ma być funkcja identycznościowa (choć to błąd okropny), to przecież pod pierwiastkiem będzie coś zdecydowanie innego.

Możliwe że nie rozumiem o co chodzi w powyższym poście, ale: wzór

\(\displaystyle{ 2 \pi \int \limits_0^1 \arctan(x) \sqrt{1+\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2} \, \dd x}\)

opisuje pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji \(\displaystyle{ \arctan(x)}\), \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\) wokół osi OX. Ponieważ obrót miał być wokół osi OY, poprawny jest wzór:

\(\displaystyle{ 2 \pi \int \limits_0^1 x \sqrt{1+\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2} \, \dd x}\)

lub równoważny mu

\(\displaystyle{ 2 \pi \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(y) \sqrt{1+ \left( \frac{1}{\cos^2(y)} \right)^2} \, \dd y}\).

W tym kontekście poprawka kt26420 i sposób liczenia janusza47 są chyba w porządku?

OK Sorry