Uzyskanie X punktów przed końcem gry
: 6 maja 2022, o 21:30
Hej, autorskie zadanie można powiedzieć
Rzucamy kostką do gry i jeżeli:
1. Wypadnie 1-2 dostajemy punkt.
2. Wypadnie 3-4 nic się nie dzieje.
3. Wypadnie 5-6 tracimy życie.
4. Utrata trzeciego życia oznacza koniec gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 4 punktów przed końcem gry?
Zastanawiam się czy da się jakoś prościej niż rozpatrzyć 3 scenariusze, tzn.
1. (4 wygrane, 0 porażek, k remisów)
2. (4 wygrane, 1 porażka, k remisów)
3. (4 wygrane, 2 porażki, k remisów)
Dla np. 1)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3} \right)^{4} + \frac{ {4 \choose 1} }{3 ^{5} } + \frac{ {5 \choose 2} }{3 ^{6} } + \frac{ {6 \choose 3} }{3 ^{7} }+...= \sum_{ k=0 }^{ \infty } \frac{ {k+3 \choose k} }{3 ^{k+4} }}\)
Czyli trochę pracy, żeby to wyliczyć. Jakiś prostszy sposób widzicie?
Rzucamy kostką do gry i jeżeli:
1. Wypadnie 1-2 dostajemy punkt.
2. Wypadnie 3-4 nic się nie dzieje.
3. Wypadnie 5-6 tracimy życie.
4. Utrata trzeciego życia oznacza koniec gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 4 punktów przed końcem gry?
Zastanawiam się czy da się jakoś prościej niż rozpatrzyć 3 scenariusze, tzn.
1. (4 wygrane, 0 porażek, k remisów)
2. (4 wygrane, 1 porażka, k remisów)
3. (4 wygrane, 2 porażki, k remisów)
Dla np. 1)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3} \right)^{4} + \frac{ {4 \choose 1} }{3 ^{5} } + \frac{ {5 \choose 2} }{3 ^{6} } + \frac{ {6 \choose 3} }{3 ^{7} }+...= \sum_{ k=0 }^{ \infty } \frac{ {k+3 \choose k} }{3 ^{k+4} }}\)
Czyli trochę pracy, żeby to wyliczyć. Jakiś prostszy sposób widzicie?