Norma, funkcjonał
: 4 maja 2022, o 17:04
Oceń czy zdanie jest prawdziwe.
Normy \(\displaystyle{ ||(x_1,x_2)||_{\sup} }\) i \(\displaystyle{ ||(x_1,x_2)||_{1} :C[0,1]\rightarrow \RR }\) są określone wzorami: \(\displaystyle{ ||x||_{\sup}=\sup_{0\leq t\leq 1} |x(t)|, ||x||_1= \int\limits_{0}^{1} |x(t)|dt }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1]. }\)
a. Funkcja \(\displaystyle{ || \cdot || : C[0,1] \rightarrow \RR }\), określona wzorem \(\displaystyle{ ||x||= \frac{||x||_{\sup}+2||x||_1}{3} }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1] }\), nie jest normą w \(\displaystyle{ C[0,1] }\).
b. Funkcja \(\displaystyle{ || \cdot || : C[0,1] \rightarrow \RR }\), określona wzorem \(\displaystyle{ ||x||= \max (2||x||_{\sup},3||x||_1) }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1] }\), jest normą w \(\displaystyle{ C[0,1] }\) równoważną normie \(\displaystyle{ ||\cdot||_{\sup}}\).
c. Niech \(\displaystyle{ f:(C[0,1], || \cdot ||_{\sup}) \rightarrow \RR }\) będzie funkcjonałem określonym wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x(1/3)+x(2/3) }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1]}\). Wówczas \(\displaystyle{ ||f||=1 }\).
Normy \(\displaystyle{ ||(x_1,x_2)||_{\sup} }\) i \(\displaystyle{ ||(x_1,x_2)||_{1} :C[0,1]\rightarrow \RR }\) są określone wzorami: \(\displaystyle{ ||x||_{\sup}=\sup_{0\leq t\leq 1} |x(t)|, ||x||_1= \int\limits_{0}^{1} |x(t)|dt }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1]. }\)
a. Funkcja \(\displaystyle{ || \cdot || : C[0,1] \rightarrow \RR }\), określona wzorem \(\displaystyle{ ||x||= \frac{||x||_{\sup}+2||x||_1}{3} }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1] }\), nie jest normą w \(\displaystyle{ C[0,1] }\).
b. Funkcja \(\displaystyle{ || \cdot || : C[0,1] \rightarrow \RR }\), określona wzorem \(\displaystyle{ ||x||= \max (2||x||_{\sup},3||x||_1) }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1] }\), jest normą w \(\displaystyle{ C[0,1] }\) równoważną normie \(\displaystyle{ ||\cdot||_{\sup}}\).
c. Niech \(\displaystyle{ f:(C[0,1], || \cdot ||_{\sup}) \rightarrow \RR }\) będzie funkcjonałem określonym wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x(1/3)+x(2/3) }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1]}\). Wówczas \(\displaystyle{ ||f||=1 }\).