Matematyka.pl

Oceń czy zdanie jest prawdziwe.
Niech X i Y będą przestrzeniami unormowanymi, a \(\displaystyle{ A : X \rightarrow Y }\) operatorem liniowym.
a. Jeśli X jest przestrzenią Banacha, to przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych z X do Y jest przestrzenią Banacha.
b. Funkcjonał \(\displaystyle{ \Lambda_{t} : L^2[0,1] \rightarrow \mathbb{C}, \Lambda_{t} f = \int\limits_{0}^{1} (t-1)f(x) dx}\) jest ograniczony dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R} }\) oraz funkcja \(\displaystyle{ t \rightarrow ||\Lambda_{t}||}\) jest różniczkowalna na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
c. Jeśli \(\displaystyle{ X=Y=L_{\mathbb{R}}^2[0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ (Af)(x) = xf(x^2)}\), to \(\displaystyle{ ||A||=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ (A*g)(x)=\frac{g(\sqrt{x})}{2x}}\).

Co do \(\displaystyle{ (b)}\) nie wiem jak się ma \(\displaystyle{ A}\) do tego ale dla ustalonego \(\displaystyle{ t\in \RR}\) operator \(\displaystyle{ \Lambda_t}\) jest liniowy co widać z liniowości całki. Poza tym \(\displaystyle{ \left| \Lambda_t f\right|\le \left| t-1\right| \|1\|_{L_2} \|f\|_{L_2} }\)dla każdej \(\displaystyle{ f\in L_2([0,1])}\), przy czym \(\displaystyle{ 1}\) oznacza tu odwzorowanie stałe. Więc \(\displaystyle{ \Lambda_t}\) jest ograniczony bo \(\displaystyle{ \|1\|_{L_2} = \sqrt{\lambda([0,1])} =1}\) (\(\displaystyle{ \lambda}\) to miara Lebesgue’a). Zatem \(\displaystyle{ \Lambda_t}\) jest ciągłym operatorem. Ponieważ \(\displaystyle{ \|\Lambda_t\|=|t-1|}\) (co widać patrząc na ograniczenie przy \(\displaystyle{ f=1}\)) widzimy, że nie jest to odwzorowanie różniczkowalne w \(\displaystyle{ 1}\).

(a) Wskazówka: przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych z \(\displaystyle{ \RR}\) do \(\displaystyle{ Y}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ Y}\) jako przestrzeń unormowana.

Dasio11 pisze: 4 maja 2022, o 19:46 (a) Wskazówka: przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych z \(\displaystyle{ \RR}\) do \(\displaystyle{ Y}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ Y}\) jako przestrzeń unormowana.

Znalazłam takie twierdzenia: Jeśli Y jest przestrzenią Banacha, to B(X,Y) też jest przestrzenią Banacha.

Z tego twierdzenia wnioskuję, że podpunkt a jest fałszem.

Nie, z przytoczonego twierdzenia nie wynika fałszywość podpunktu (a).