Matematyka.pl

Proszę o pomoc w pokazaniu, że równanie
\(\displaystyle{
\frac{-y}{x^2+y^2} +\frac{x}{x^2+y^2}y'=0
}\)
nie jest zupełne w obszarze \(\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus\{(0,0\}}\). Obszar ten nie jest oczywiście jednospójny, więc nie możemy stosować standardowego warunku z równością pochodnych cząstkowych. Przyznam się, że przez dłuższą chwilę nie miałem do czynienia z równaniami różniczkowymi. Wydaje mi się, że trzeba próbować podejść do tego z definicji równania zupełnego, ale być może jest jakieś twierdzenie rozstrzygające zupełność w takich obszarach, a ja go nie znam lub nie pamiętam. Z góry dziękuję za odpowiedź.

Wskazówka: gdyby \(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{-y}{x^2+y^2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x}{x^2+y^2}}\) dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ F : \RR^2 \setminus \{ (0, 0) \} \to \RR}\), to całka

\(\displaystyle{ \oint \limits_{S^1} \frac{-y}{x^2+y^2} \dd x + \frac{x}{x^2+y^2} \dd y}\)

po okręgu jednostkowym równałaby się zeru.