Matematyka.pl

Tu akurat jeszcze nie ma rozwiązania gdyż to pierwszy post w tym temacie

Niech \(S_1\) i \(S_2\) oznaczają pola trójkątów przy podstawach trapezu, a \(h_1\) i \(h_2\) odpowiednio wysokości tych trójkątów opadające na podstawy trapezu. Niech \(S_{1{,}5}\) oznacza pole trójkąta przy jednym z ramion trapezu. Ze zwykłego wzoru na pole trójkąta wiemy, że
\(\displaystyle{ \frac{S_1+S_{1{,}5}}{S_1}=\frac{h_1+h_2}{h_1},}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{S_{1{,}5}}{S_1}=\frac{h_2}{h_1}.}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ \frac{S_{1{,}5}}{S_2}=\frac{h_1}{h_2}.}\)
Zatem ciąg \(S_1, S_{1{,}5}, S_2\) jest geometryczny. Zatem pole trapezu może przyjąć tylko jedną z trzech wartości:
a) \(4+2\sqrt{4\cdot5}+5=9+4\sqrt{5},\)
b) \(4+2\cdot5+\frac{5^2}4=\frac{81}4,\)
c) \(5+2\cdot4+\frac{4^2}5=\frac{81}5.\)
Każda z tych wartości jest możliwa do osiągnięcia.