Szereg z arcusem
: 2 maja 2022, o 17:36
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \arctg( \frac{2}{n^2} ) = \frac{3\pi}{4} }\)
pomysł:
Niestety nie mam czasu się nad tym dłużej zastanowić ale wydaje mi się, że może istnieje funkcja \(\displaystyle{ f:\NN\to \RR}\) taka, że \(\displaystyle{ \arctg (2/n^2)=\arctg f(n+1)-\arctg f(n)}\). I podejrzewam, że \(\displaystyle{ f}\) jest wymierna. Szukał bym takich \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\RR}\), że \(\displaystyle{ f(n)= \frac{an+b}{cn+d} }\) byłaby dobra. Wzór na różnicę \(\displaystyle{ \arctg}\) też może się przydać. I fakt, że \(\displaystyle{ \arctg}\) jest różnowartościowy. Na samym końcu dostaniemy sumę która się teleskopuje i szereg policzy się jako jakąś prostą granicę.