Matematyka.pl

Zbadaj zbieżność całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{x}{1+x^6(\sin x)^2} }\).

\(\displaystyle{

\begin{align}
\int^\pi_0 \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x} =&\ \int^{\pi/2}_0 \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}+\int^\pi_{\pi/2} \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}\\
\leq& \int^{\pi/2}_0 \frac{xdx}{1+4n^6\pi^4 x^2}+\int^\pi_{\pi/2} \frac{xdx}{1+(n\pi)^6(1-\frac{2}{\pi}(x-\frac{\pi}{2}))^2}\\
=&\ \frac{\tan^{-1}(n\pi)^3}{2\pi n^3} \leq \frac{1}{4n^3}.
\end{align}
}\)

Poczytaj sobie w książce Teiji Takagi o przykładzie zbieżnej całki z funkcji nieograniczonej.

Mógłbyś podać tytuł tej książki ?

bedbet pisze: ↑27 maja 2022, o 19:32

Poczytaj sobie w książce Teiji Takagi o przykładzie zbieżnej całki z funkcji nieograniczonej.

Do tego chyba książki nie trzeba: niech `A= \bigcup_{n=1}^{\infty} [n,n+1/n^3]`. Funkcja `f(x)=\lfloor x\rfloor \chi_A(x)` jest nieograniczona, bo `f(n)=n`, a \(\displaystyle{ \int_1^{\infty} f(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2=\pi^2/6}\)

Ja odnoszę się do przykładu autora postu. Zapomniałem również dodać, że chodzi o ciągłą funkcję podcałkową

Dodano po 1 minucie 43 sekundach:
Prof. Teji Takaga nigdy nie wydał książki z Analizy Matematycznej.

bedbet pisze: ↑28 maja 2022, o 09:37
Ja odnoszę się do przykładu autora postu. Zapomniałem również dodać, że chodzi o ciągłą funkcję podcałkową

Zastąpienie prostokąta trójkątem o tej samej podstawie i dwukrotnie większej wysokości jest banalne.

Dodano po 48 minutach 38 sekundach:
A jak potrzebujesz `C^\infty` to wystarczy zamiast trójkąta wystarczy wziąć nieujemną funkcję `\varphi` klasy `C^\infty` o nośniku w `(0,1)` i

\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^\infty \lfloor x\rfloor \varphi\left(n^3x-n^4\right)}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \int_0^\infty f(x)=\int_0^1 \varphi(t)dt\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}}\)

@janusz47 Ten matematyk nie nazywał się Teji Takaga, lecz Teiji Takagi. Ciekawe na jakiej podstawie stwierdziłeś, że Takagi nie napisał takiej książki?

Dodano po 8 godzinach 51 minutach 35 sekundach:

janusz47 pisze: ↑28 maja 2022, o 09:48
Prof. Teji Takaga nigdy nie wydał książki z Analizy Matematycznej.

Japońska wiki w artykule o profesorze Takagi podaje taką informację bibliograficzną
『解析概論』
初版（1938年）岩波書店
増訂版（1943年）岩波書店
改訂第3版 軽装版（1983年）岩波書店 ISBN 4-00-005171-7

czyli

"Introduction to analysis"
First edition (1938) Iwanami Shoten
Revised edition (1943) Iwanami Shoten
Revised 3rd Edition Light Edition (1983) Iwanami Shoten ISBN 4-00-005171-7

Biografia Profesora :

w języku japońskim

książka Mathematics-Number-Theory 1948,

w języku angielskim

jego zbiór artykułów :

Collected papers, Springer Collected Works in Mathematics (2 ed.)

Mathematics Genealogy Project

Founder of the Japanese School of Modern Mathematics.