Matematyka.pl

Witam, mam krótkie pytanie. Otóż mam zadanie o treści:

Wyznaczyć przestrzenie własne \(\displaystyle{ V_λ}\) oraz przestrzenie pierwiastkowe \(\displaystyle{ V(λ)}\) dla poszczególnych wartości własnych, sprowadzając odpowiednie macierze do postaci macierzy schodkowych.

Czym one się różnią i jak je obliczać?

Dla funkcji liniowej \(\displaystyle{ f : V \to V}\) przestrzeń własna to zbiór

\(\displaystyle{ V_{\lambda} = \{ v \in V : f(v) = \lambda v \} = \ker ( f - \lambda \cdot \mathrm{id})}\),

a przestrzeń pierwiastkowa to zbiór

\(\displaystyle{ V(\lambda) = \{ v \in V : (\exists n \in \mathbb{N}) \, (f - \lambda \cdot \mathrm{id})^n(v) = 0 \} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \ker ( f - \lambda \cdot \mathrm{id})^n = \ker ( f - \lambda \cdot \mathrm{id} )^N}\),

gdzie \(\displaystyle{ N = \dim V}\). Oblicza się je z definicji - jeśli na przykład \(\displaystyle{ V = \RR^N}\) i \(\displaystyle{ f}\) jest dana macierzą \(\displaystyle{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})}\), to \(\displaystyle{ V_{\lambda}}\) jest zbiorem rozwiązań \(\displaystyle{ X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}}\) równania \(\displaystyle{ (A - \lambda I) X = 0}\), a \(\displaystyle{ V(\lambda)}\) to zbiór rozwiązań \(\displaystyle{ X}\) równania \(\displaystyle{ (A - \lambda I)^N X = 0}\).