Matematyka.pl

Wykaż, że wielomian \(\displaystyle{ f(x)=3x^{12} - 5x^6 +3}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

1. \(\displaystyle{ x\ne 0}\)
\(\displaystyle{ f(x)=3x^{10}\cdot x^2 - 5x^5\cdot x + 3 \\
\Delta = 25x^{10} - 4\cdot 3\cdot 3^{10} = 25x^{10} - 36x^{10}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -11x^{10}}\), a skoro \(\displaystyle{ x^{10}}\) jest większe od zera (lub równe ale to rozważymy w drugim przypadku), to \(\displaystyle{ -11x^{10}<0}\), zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.

2. \(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ f(0)=3\\
3\ne 0}\)

Zatem funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Czy takie rozwiązanie jest dobre?

blabla12345 pisze: 24 kwie 2022, o 14:15\(\displaystyle{ f(x)=3x^{10}\cdot x^2 - 5x^5\cdot x + 3 \\
\Delta = 25x^{10} - 4\cdot 3\cdot 3^{10} = 25x^{10} - 36x^{10}}\)

Mnie się ten fragment nie podoba - coś liczysz, ale jak to wytłumaczysz?

A w ogóle to podstawienie \(\displaystyle{ x^6=t}\) załatwia sprawę od razu.

JK

A mnie się ten sposób akurat podoba, ale żeby był zrozumiały dla czytelnika (a w szczególności dla oceniających) lepiej to zreferować tak:

Rozpatrzmy funkcje:` f_a(x)=3a^{10}x^2-5a^5x+3`. Dla `a\ne 0` jej wyróżnik jest ujemny, więc dla wszystkich `x` zachodzi `f_a(x)>0` W szczególności `f_x(x)>0`.
Przypadek `a=0` jest oczywisty