arek1357 pisze: ↑24 kwie 2022, o 20:28
Ja myślałem o funkcji f jako permutacji na zbiorach S a na częściach wspólnych zbiorów S permutacje musiałyby być identycznościami...
No to jest dosyć oczywiste, że trzeba to tak robić. Nie rozumiem tylko, dlaczego każde zdanie kończy się u Ciebie wielokropkiem. Zazwyczaj do kończenia zdania oznajmującego stosuje się kropkę...
arek1357 pisze: ↑24 kwie 2022, o 20:28
Tu jeszcze musisz doprecyzować jak będą wyglądać zbiory S?
Najwidoczniej łatwiej zauważać błędy w poprawnej definicji funkcji Riemanna niż zauważyć, o jaki zbiór chodzi na podstawie mojego poprzedniego wpisu – a moim zdaniem widzi to ślepy koń.
Dla
\(\displaystyle{ n \geq 2}\) zbiór
$$S = \{n+1\}\cup \{m\cdot (m+1)\,|\,m=1,2,...,n\}$$
spełnia
$$\sum_{s\in S}\frac{1}{s} = \frac{1}{n+1} + \sum_{m=1}^n\frac{1}{m(m+1)} = 1$$
Stąd z warunków zadania dla
\(\displaystyle{ n \geq 2}\) dostajemy
$$\frac{1}{f(n+1)} + \sum_{m=1}^n\frac{1}{f(m(m+1))} = \sum_{s\in S}\frac{1}{f(s)} \in \mathbb{Z}$$
Wprowadźmy teraz oznaczenie
$$K_n = \sum_{m=1}^{n-1}\frac{1}{f(m(m+1))}$$
wtedy
\(\displaystyle{ K_n + \frac{1}{f(n)} \in \mathbb{Z}}\) dla wszystkich
\(\displaystyle{ n\geq 3}\). Ponadto mamy nierówności
$$K_n < K_{n + 1} + \frac{1}{f(n + 1)} = K_n + \frac{1}{f(n(n+1))} + \frac{1}{f(n+1)} < K_n + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = K_n + 1$$
Zatem obie liczby całkowite
$$K_n + \frac{1}{f(n)}, K_{n+1}+\frac{1}{f(n+1)}$$
leżą w przedziale
\(\displaystyle{ (K_n,K_n+1)}\), a to jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy te liczby są równe czyli
$$K_n + \frac{1}{f(n)} = K_{n+1}+\frac{1}{f(n+1)}$$
dla
\(\displaystyle{ n \geq 3}\). Ta równość po redukcji wyrazów podobnych (to jest ta część wspólna permutacji z Twojej heurystyki) daje
$$\frac{1}{f(n)} = \frac{1}{f(n(n+1))} + \frac{1}{f(n+1)}$$
dla
\(\displaystyle{ n \geq 3}\). Z tej równości wynika, że
\(\displaystyle{ f(n) < f(n+1)}\). Stąd
\(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca
\(\displaystyle{ n \geq 3}\). Analizując równość
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$$
i korzystając z tego, że
\(\displaystyle{ f}\) rośnie dla
\(\displaystyle{ n \geq 3}\) można wykazać, że
\(\displaystyle{ f(6) = 6}\). Z
\(\displaystyle{ f(6) = 6}\) oraz faktu, że
\(\displaystyle{ f}\) rośnie dla
\(\displaystyle{ n \geq 3}\) można wywnioskować, że
\(\displaystyle{ f(n) \geq n}\) dla
\(\displaystyle{ n\geq 6}\). Teraz przez indukcję po
\(\displaystyle{ n \geq 6}\) pokazujemy, że
\(\displaystyle{ f(n) = n}\). Dla
\(\displaystyle{ n = 6}\) jest zrobione. Załóżmy, że zachodzi dla pewnego
\(\displaystyle{ n \geq 6}\). Wcześniej wykazaliśmy, że
$$\frac{1}{f(n)} = \frac{1}{f(n(n+1))} + \frac{1}{f(n+1)}$$
a więc na mocy założenia indukcyjnego mamy
$$\frac{1}{n} = \frac{1}{f(n(n+1))} + \frac{1}{f(n+1)}$$
Ponadto wiemy, że
\(\displaystyle{ f(n(n+1)) \geq n(n+1)}\) oraz
\(\displaystyle{ f(n+1) \geq n+1}\), bo to też pokazaliśmy wyżej. Zatem
$$\frac{1}{n} = \frac{1}{f(n(n+1))} + \frac{1}{f(n+1)} \leq \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}$$
i nierówności muszą być równościami, co daje
\(\displaystyle{ f(n+1) = n+1}\) i kończy dowód indukcyjny. Stąd faktycznie
\(\displaystyle{ f(n) = n}\) dla
\(\displaystyle{ n \geq 6}\).
Wiemy też, że
\(\displaystyle{ f(1) = 1}\) i analizując dalej równość
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$$
oraz korzystając z tego, że
\(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca dla
\(\displaystyle{ n \geq 3}\) powinno się już wyznaczyć wartości
\(\displaystyle{ f}\) dla argumentów
\(\displaystyle{ 2,3,4,5}\). Wiemy na przykład, że
\(\displaystyle{ \{f(2),f(3)\} = \{2,3\}}\) oraz
\(\displaystyle{ \{f(4),f(5)\} = \{4,5\}}\).