Matematyka.pl

Rzucamy kostką tak długo, aż nie wypadnie trzecia piątka. Znajdź rozkład zmiennej losowej X oznaczającej liczbę rzutów.
Proszę o pomoc jak do czegoś takiego podejść. Wiem, że gdyby w zadaniu było do momentu, aż wypadnie pierwsza piątka to byłby to rozkład geometryczny. Myślałem też, żeby przedstawić zmienną losową X jako sumę \(\displaystyle{ \sum_{i}^3X_i }\), gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) to zmienna oznaczająca liczbę potrzebnych rzutów do uzyskania i-tej piątki, ale to chyba nietrafiony pomysł.

Możemy sobie zapisać prawdopodobieństwo że w k-rzutach trafimy dokładnie trzy piątki. Dla \(\displaystyle{ k=1,2}\) nie ma szans, prawdopodobieństwo to zero. Dla \(\displaystyle{ k=3}\) mamy \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{ 6^{3} } }\). Dla \(\displaystyle{ k>3}\) mamy \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{ 6^{3} } \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{k-3} }\)

Trzeba jeszcze wybrać miejsca na te dwie piątki, które wypadają w międzyczasie.