Matematyka.pl

Przychodzę z zadaniem, które "prawie" rozwiązałam ale odpowiedź podana w książce jest trochę inna.

Dana jest liczba \(\displaystyle{ 2^{32582657}-1}\).
a) Ile cyfr w zapisie dziesiętnym ma ta liczba?
b) Zapisz przybliżenie danej liczby w postaci \(\displaystyle{ a \cdot 10^n}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in [1,10)}\) i \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\).

Moje rozwiązanie:
a)
Zauważamy, że liczba \(\displaystyle{ 2^{32582657}-1}\) ma w zapisie dziesiętnym tyle samo cyfr, co liczba \(\displaystyle{ 2^{32582657}}\).
\(\displaystyle{ \log 2^{32582657}=32582657 \log 2 \approx 32582657 \cdot 0,30103=9808357,23671}\)
\(\displaystyle{ n=9808357}\), zatem liczba \(\displaystyle{ 2^{32582657}-1}\) ma w zapisie dziesiętnym \(\displaystyle{ 9808358}\) cyfr.
Tutaj odpowiedź zgadza się z odpowiedzią podaną w książce.

b)
\(\displaystyle{ n=9808357}\)
\(\displaystyle{ \log a=0,23671 \Leftrightarrow a=10^{0,23671} \approx 1,72469}\)
\(\displaystyle{ 2^{32582657} \approx 1,72469 \cdot 10^{9808357}}\)
Tu mam problem, nie wiem, czy to \(\displaystyle{ -1}\) mam uwzględnić (i jak?), czy nie. W każdym razie w podręczniku jako poprawną odpowiedź podaje się \(\displaystyle{ 1,2445 \cdot 10^{9808357}}\).

Tu moje pytanie. Czy to jest po prostu niedoszacowanie? Czy może ja gdzieś popełniłam błąd? Jeśli tak, to czy powinnam jakoś uwzględnić \(\displaystyle{ -1}\), czy to jeszcze coś innego?

Pozdrawiam :)

Twoje przybliżenie \(\displaystyle{ \log 2}\) jest za mało dokładne - w rzeczywistości

\(\displaystyle{ \log 2^{32582657} \approx 9808357{,}09543}\).

W efekcie

\(\displaystyle{ 2^{32582657} \approx 10^{0{,}09543} \cdot 10^{9808357} \approx 1,24575 \cdot 10^{9808357}}\).

À propos minus jedynki: \(\displaystyle{ 1, 2, 4, 5, 7, 5, \ldots}\) są pierwszymi w ciągu ponad dziewięciu milionów cyfr, a odjęcie jedynki zmienia tylko ostatnią, więc taka operacja zupełnie nie wpływa na żądane przybliżenie.