Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ p_{n,k}}\) oznacza liczbę \(\displaystyle{ n}\)-permutacji mających dokładnie \(\displaystyle{ k}\) punktów stałych i niech \(\displaystyle{ r}\) będzie ustaloną liczbą naturalną. Uprość sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{k} {k \choose r} p_{n,k}.}\)

Jak za takie coś się zabrać?

Suma

\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} }\)

zlicza ilość sposobów oznaczenia \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ r - }\) elementowej metodą sumowania \(\displaystyle{ k }\) punktów stałych.

Mamy \(\displaystyle{ {n\choose r} }\) sposobów wyboru \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ n - }\) elementowej do oznaczenia pozostałe permutujemy na \(\displaystyle{ (n-r)! }\) sposobów.

Stąd liczba sposobów:

\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} = {n\choose r}\cdot (n-r)! = \frac{n!}{r!}. }\)

janusz47 pisze: ↑20 kwie 2022, o 08:29 Suma

\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} }\)

zlicza ilość sposobów oznaczenia \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ r - }\) elementowej metodą sumowania \(\displaystyle{ k }\) punktów stałych.

Ta suma nie zależy od `r`, więc chyba coś jest nie tak

Mamy \(\displaystyle{ {n\choose r} }\) sposobów wyboru \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ n - }\) elementowej do oznaczenia pozostałe permutujemy na \(\displaystyle{ (n-r)! }\) sposobów.

Oczywiście, że tak nie jest:
1) wśród tych `(n-r)!` sposobów jest wiele takich, które maja dodatkowe punkty stałe
2) czy zastanowiłeś się ile jest permutacji, które maja dokładnie `n-1` punktów stałych?

Stąd liczba sposobów:

\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} = {n\choose r}\cdot (n-r)! = \frac{n!}{r!}. }\)

A jak to się ma do zadania?

do oznaczenia pozostałe permutujemy na (n−r)! sposobów.

Jeśli już to tam powinno być:

\(\displaystyle{ (n-r-1)!}\) - sposobów

Bo cyklI o długości \(\displaystyle{ n-r}\) jest \(\displaystyle{ (n-r-1)!}\)

arek1357 pisze: ↑20 kwie 2022, o 10:56

do oznaczenia pozostałe permutujemy na (n−r)! sposobów.

Jeśli już to tam powinno być:

\(\displaystyle{ (n-r-1)!}\) - sposobów

Bo cyklI o długości \(\displaystyle{ n-r}\) jest \(\displaystyle{ (n-r-1)!}\)

Też nie, w końcu może to byc iloczyn cykli.

a4karo pisze: ↑20 kwie 2022, o 09:26 Oczywiście, że tak nie jest:
1) wśród tych `(n-r)!` sposobów jest wiele takich, które maja dodatkowe punkty stałe

Może to kwestia źle postawionego wykrzyknika, i miało być `!(n-k)` ?

Oczywiście trzeba zastosować wzór na nieporządki tamte obliczenia po prostu mnie zmyliły...

kerajs pisze: ↑20 kwie 2022, o 12:12

a4karo pisze: ↑20 kwie 2022, o 09:26 Oczywiście, że tak nie jest:
1) wśród tych `(n-r)!` sposobów jest wiele takich, które maja dodatkowe punkty stałe

Może to kwestia źle postawionego wykrzyknika, i miało być `!(n-k)` ?

Spójrz na wzór `|S|=...` i będziesz wiedział, że nie