Matematyka.pl

Udowodnić, że dla dowolnego ciała \(\displaystyle{ K}\) ciało funkcji wymiernych \(\displaystyle{ K(X)}\) ma podpierścień, który nie jest noetherowski.

Może tak, weźmy pierścień:

\(\displaystyle{ P=\left\{ 2\right\} \cup \left\{ \frac{2}{x^n} , n \in N\right\} }\)

Zdefiniujmy ciąg ideałów:

\(\displaystyle{ I_{n}=\left( \frac{2}{x^n} \right) }\)

Teraz skonstruujmy ideały:

\(\displaystyle{ A_{n}=\left( I_{1},I_{2},...,I_{n}\right) }\)

Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{n-1}} \in A_{n-1}}\)

ale:

\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{n}} \notin A_{n-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{x^{n}} \in A_{n}}\)

Jak widać:

\(\displaystyle{ A_{n}}\) - ciąg ideałów nie mających kresu górnego co sugeruje, że P nie jest noetherowski...

To jest pierścień?

Czemu ma nie być?

Dodano po 39 sekundach:
Generowany przez te elementy...