Matematyka.pl

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ m}\) pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^{3}-15 \sqrt{2}x ^{2} +mx-195 \sqrt{2} = 0}\) są długościami boków trójkąta prostokątnego?

Załóżmy, że istnieją rozwiązania równania \(a,b,c\), spełniające warunki zadania. Wtedy z wzorów Viete'a
\(\begin{cases}a+b+c=15\sqrt2\\ab+bc+ca=m\end{cases} \Rightarrow a^2+b^2+c^2+2m=450\)
Wobec \(a^2+b^2=c^2\) mamy
\(m=225-c^2\)
Pozostaje rozwiązać równanie
\(c^{3}-15 \sqrt{2}c ^{2} +(225-c^2)c-195 \sqrt{2} = 0\)
i sprawdzić istnienie \(a,b\)

Pozdrawiam