Podzielność potęg
: 11 kwie 2022, o 16:30
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a^b}\) dzieli \(\displaystyle{ b^c}\) i \(\displaystyle{ a^c}\) dzieli \(\displaystyle{ c^b}\), to \(\displaystyle{ a^2}\) dzieli \(\displaystyle{ bc}\).
proste szacowanie:
Zakładam, że \(\displaystyle{ a, b, c}\) są całkowite dodatnie. Niech \(\displaystyle{ \nu_p(x)}\) będzie wykładnikiem z jakim liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) wchodzi do rozkładu liczby \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}}\). Mamy
$$\nu_p(a)\cdot b \leq \nu_p(b)\cdot c,\,\nu_p(a)\cdot c \leq \nu_p(c)\cdot b$$
Zatem
$$\nu_p(a)\cdot \frac{b}{c} \leq \nu_p(b),\,\nu_p(a)\cdot \frac{c}{b} \leq \nu_p(c)$$
Dodajemy stronami te nierówności
$$\nu_p(a)\cdot \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right) \leq \nu_p(b) + \nu_p(c)$$
i korzystamy z faktu, że
$$2\leq \frac{b}{c} + \frac{c}{b}$$
Zatem \(\displaystyle{ 2\cdot \nu_p(a) \leq \nu_p(b) + \nu_p(c)}\) zachodzi dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), a więc \(\displaystyle{ a^2 | b\cdot c}\).
$$\nu_p(a)\cdot b \leq \nu_p(b)\cdot c,\,\nu_p(a)\cdot c \leq \nu_p(c)\cdot b$$
Zatem
$$\nu_p(a)\cdot \frac{b}{c} \leq \nu_p(b),\,\nu_p(a)\cdot \frac{c}{b} \leq \nu_p(c)$$
Dodajemy stronami te nierówności
$$\nu_p(a)\cdot \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right) \leq \nu_p(b) + \nu_p(c)$$
i korzystamy z faktu, że
$$2\leq \frac{b}{c} + \frac{c}{b}$$
Zatem \(\displaystyle{ 2\cdot \nu_p(a) \leq \nu_p(b) + \nu_p(c)}\) zachodzi dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), a więc \(\displaystyle{ a^2 | b\cdot c}\).