Matematyka.pl

Punkt \(\displaystyle{ P}\) porusza się po okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=100}\) z prędkością \(\displaystyle{ 3 \ \hbox{obr} \ \hbox{s}^{-1}}\). Jaka będzie prędkość tego punktu względem osi \(\displaystyle{ Ox}\) w momencie, w którym rzędna tego punktu będzie wynosiła \(\displaystyle{ 5}\)?

Można przyjąć, że w chwili \(\displaystyle{ t}\) punkt znajduje się w pozycji

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \cos( 6 \pi t ) \\ 10 \sin( 6 \pi t ) \end{pmatrix}}\)

Przyjmując, że "prędkość względem osi OX" oznacza "prędkość w kierunku OX", wystarczy wyznaczyć \(\displaystyle{ |x'(t)|}\) przy założeniu \(\displaystyle{ y(t) = 5}\).

Rozumiem, że \(\displaystyle{ 6\pi t}\) w argumentach wynika z prędkości kątowej. Wychodzi według Twoich wskazówek \(\displaystyle{ 30\pi}\). W odpowiedzi jest natomiast \(\displaystyle{ 1.5 \ \hbox{obr} \ \hbox{s}^{-1}}\).

bedbet pisze: ↑10 kwie 2022, o 09:44 \(\displaystyle{ 1.5 \ \hbox{obr} \ \hbox{s}^{-1}}\).

Ale to jednostka częstotliwości, nie prędkości, a z treści wynika, że pytanie jest o prędkość liniową (tylko wtedy jest sens mówić o prędkości względem osi OX).

Rozumiem ten dysonans związany z jednostkami. Niemniej jednak jak doprowadzić teraz wynik do tej jednostki z odpowiedzi?

Edit: znalazłem dwa rozwiązania z anglojęzycznych stron (zadanie pochodzi z podręcznika IB) i w obu rozwiązaniach padają odpowiedzi jak te z podręcznika. Niestety żadne z nich nie jest dla mnie zrozumiałe.

Jak brzmi treść zadania w oryginale?

A point \(\displaystyle{ P}\) is moving along a circle with equation \(\displaystyle{ x^2+y^2=100}\) at a constant rate of \(\displaystyle{ 3 \ \hbox{units} \ \hbox{s}^{-1}}\). How fast is the projection of \(\displaystyle{ P}\) on the \(\displaystyle{ x}\)-axis moving when \(\displaystyle{ P}\) is \(\displaystyle{ 5}\) units above the \(\displaystyle{ x}\)-axis?

bedbet pisze: ↑10 kwie 2022, o 12:37\(\displaystyle{ 3 \ \hbox{units} \ \hbox{s}^{-1}}\)

oznacza 3 jednostki na sekundę, nie obroty. W takim razie położenie punktu w zależności od czasu wyraża się wzorami

\(\displaystyle{ s(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \cos( \omega t ) \\ 10 \sin( \omega t ) \end{pmatrix}.}\)

Mamy więc

\(\displaystyle{ v(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \omega \sin(\omega t) \\ 10 \omega \cos(\omega t) \end{pmatrix}}\)

i z treści \(\displaystyle{ 3 = \| v'(t) \| = 10 |\omega|}\), czyli \(\displaystyle{ |\omega| = \frac{3}{10}}\). Stąd w momencie gdy \(\displaystyle{ y(t) = 5}\) mamy

\(\displaystyle{ |x'(t)| = |-\omega \cdot y(t)| = \frac{3}{10} \cdot 5 = 1.5}\)

jednostki na sekundę.

Teraz już chyba wystarczająco jasne, dziękuję za pomoc.